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ANÁLISE COMBINATÓRIA
Solicitado por Flávia Maria Canhim Pimentel


01) - Com os algarismos 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9, quantos números com algarismos distintos existem entre 500 e 1000?
Solução:-
Como os números são maiores que 500 e menores que mil eles são formados por 3 algarismos e somente podem começar por 5 ou 6 ou 7 ou 8 ou 9. Podemos usar o princípio multiplicativo para solucionar este item. Para o algarismo das centenas temos 5 opções (5, 6, 7, 8, 9). Escolhido um para a ordem das centenas teremos 8 possibilidades de escolhas para o algarismo das dezenas e 7 possibilidades para o algarismo das unidades. Portanto, são 5 x 8 x 7 = 280 números.
Uma outra forma consiste em usar os arranjos de 9 algarismos tomados 3 a 3. Como devemos considerar apenas os começados com 5 ou 6 ou 7 ou 8 ou 9, teremos (5/9) do total dos agrupamentos.
Portanto, a quantidade de números é (5/9).A9,3 = (5/9).9.8.7 = 5.8.7 = 280 números.
Resposta:- 280 números.

02) - Quantos números formados por 3 algarismos distintos escolhidos entre 2, 4, 6, 8 e 9 contém o 2 e não contém o 6?
Solução:-
Primeira forma: podemos escolher dois algarismos entre 4, 8 e 9, juntá-los ao 2 e a seguir permutar os três algarismos em cada grupo formado. Desta forma teremos:  C3,2 x P3 = [3!/(3 - 2)!2!] x 3! = (6/1.2)x6 = 3 x 6 = 18.
Segunda forma:- Excluído o 6, teremos um total de A4,3 = 4.3.2 = 24 números. Deste total A3,3 = P3 = 6 não contém o 2. Portanto, em 24 - 6 = 18 o algarismo 2 irá figurar.
Resposta: 18.

03) - Com os dígitos 1, 2, 4, 5, 6, quantos arranjos destes dígitos tomados 4 a 4 tem o dígito 1 antes do 4?
Solução:-
Este item tem duas interpretações: a primeira é considerar o 1 junto ao 4 e a segunda e manter o 4 em posição à frente do 1, permitindo porém ter entre o 1 e o 4, outros algarismos.
Vejamos a solução de acordo com a primeira interpretação.
Considera-se a seqüência 14 como um algarismos. Tomando outros dois entre os três restantes e a seguir permutando os dois com 14 , teremos: C3,2 x P3 = 3 x 6 = 18. Nota que permutamos 3 e não 4 pois 14 foi considerado como um único dígito. Os cálculos de C3,2 x P3 já foram feitos acima.
Vejamos o resultado da segunda interpretação. Tomando por exemplo o agrupamento 1456. Encontraremos o 1 antes do 4 nas seguintes situações 1456, 1546, 1564, 5146. Note que 5146 e 5614 já estão computados como agrupamentos diferentes entre os 18. Portanto são 4 possibilidades para cada uma das 18 calculadas na primeira interpretação. Teremos então 18 x 4 = 72 arranjos diferentes.
Resposta:- São 18 e 72 arranjos de acordo com a interpretação.

04) - Formados e dispostos em ordem crescentes os números que se obtém permutando-se os algarismos 2, 3, 4, 8 e 9, que lugar ocupa o número 43892?
Solução:-
Permutações começadas com 2 e 3 = (2/5).P5 = (2/5).5.4.3.2 = 48. O maior destes números é 39832 que ocupa então a 48ª posição.
Permutações começadas com 4 e que apresente o 2 na segunda posição = P3 = 3! = 6. O maior destes números é 42982, que ocupa então a posição 48 + 6 = 54.
Após 42982 até 43892, temos na ordem 43289, 43298, 43829 e 43892, ou seja, mais 4 números. Portanto, 43892
ocupa a ordem 54 + 4 = 58.
Resposta:- 58ª posição.

05) - Um grupo tem 10 pessoas. Quantas comissões de no mínimo 4 pessoas podem ser formadas, com as disponíveis?
Solução:-
Como trocando a ordem a comissão é a mesma, devemos considerar os agrupamentos como combinações. Uma das propriedades das combinações é Cm,0 + Cm,1 + Cm,2 + ... + Cm,m-1 + Cm,m = 2m.
Desta forma teremos:  C10,0 + C10,1 + C10,2 + ... + C10,9 + C10,10 = 210 . ==> O número de combinações de no mínimo 4 pessoas é 210 - (C10,0 + C10,1 + C10,2 + C10,3) = 1024 - (1 + 10 + 10.9/2 + 10.9.8/3.2) = 848.
Resposta:- 848 comissões.

06) - De quantos modos podemos escolher 5 cartas de um baralho de 52 cartas, sem levar em conta a ordem das mesmas, de modo que sempre compareçam 4 ases?
Solução:-
Os grupos consistem em 4 ases e mais uma carta entre as outras 48. Portanto, há 48 maneiras diferentes.
Resposta:- 48.

07) - De um grupo de 10 pessoas deseja-se formar uma comissão com 5 membros. De quantas formas isto pode ser feito se duas pessoas (A e B) ou fazem parte ou não da comissão?
Solução:-
Se A e B fazem parte devemos retirar 3 das 8 restantes ==> C8,3 = 8.7.6/3.2 = 56.
Se A e B não fazem para devemos retirar 5 das 8 restantes ==> C8,5 = 8.7.6.5.4/5.4.3.2 = 56.
Portanto, são 56 + 56 = 112 comissões nas condições dadas.
Resposta: 112.