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ESTATÍSTICA
AULA Nº 01
UNIDADE 1 -INTRODUÇÃO À ANÁLISE COMBINATÓRIA                          Aula 02

1.1 - INTRODUÇÃO

        
Quando duas moedas (consideradas honestas) forem lançadas para cima, os resultados serão KK, KC, CK e CC onde K significa cara e C significa coroa. Nesta situação temos 4 possíveis resultados. Se no lugar de duas moedas forem usadas 50 moedas, a listagem dos possíveis resultados seria praticamente impossível, pois a quantidade de resultados é 250 =  1125899906842624. 

No estudo de Probabilidades e Estatística, situações como esta são comuns. Para tornar possível a análise de casos em que o número de elementos envolvidos é muito grande torna-se importante a teoria da formação dos agrupamentos que se intitula Análise Combinatória.
             Nesta unidade serão analisados alguns elementos da Análise Combinatória aplicáveis à Probabilidade e à Estatística. 

1.2 - OS PRINCÍPIOS FUNDAMENTAIS DA CONTAGEM

         1. Princípio Aditivo
            
Suponha que você tenha três conjuntos A, B e C, três conjuntos disjuntos.  O conjunto A tem 5 elementos, B tem 4 e C tem 3. Existem 5 possibilidades de escolher um elemento do conjunto A. Da mesma forma, para escolher um elemento dos conjuntos B e C os números de possibilidades serão 4 e 3, respectivamente. A escolha de um único elemento, seja ele de A, ou de B ou de C, o número de possibilidades é 5 + 4 + 3 = 12.
Note que, a ocorrência de um dos eventos não está condicionada à ocorrência do evento anterior.
Assim é que se pode concluir:

  “se existem m1 possibilidades de ocorrer um evento E1, m2 possibilidades de ocorrer um evento E2 e m3 para ocorrer o evento E3, o número total de possibilidades de ocorrer o evento E1 ou o evento E2 ou o evento E3,  será de m1 + m2 + m3  
desde que os eventos não apresentem elementos comuns.



      

 
         A afirmação acima é denominada PRINCÍPIO ADITIVO DE CONTAGEM, e que pode ser estendido para qualquer quantidade de eventos. O conectivo que caracteriza a aplicação do princípio aditivo da contagem é o conectivo ou, que conforme já foi visto está associado à união de conjuntos.

         
Seja então os conjuntos A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11}.
Considerando os eventos E1 = número de A, menor que 7 e E2 = número par pertencente a A, ter-se-á:

- E1 = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. O número de possibilidades de escolher o evento E1 é igual a 6 pois E1 tem 6 elementos.
- E2 = {2, 4, 6, 8, 10}. O número de possibilidades de escolher o evento E2 é igual a 5 pois E2 tem 5 elementos.
          Entretanto, o número de possibilidades de escolher um número menor que 7 ou par pertencente ao conjunto não será igual a 11 (= 6 + 5) e sim igual a 8 pois os elementos 2, 4 e 6 são repetidos nos dois eventos.
Neste caso, o número de eventos será n(E1 ou E2) = n(E1) + n(E2) - n(E1 Ç E2) = 6 + 5 - 3 = 8, onde n representa o numeral (quantidade de elementos do conjunto) dos conjuntos indicados.

Nota: a relação n(E1 ou E2) = n(E1) + n(E2) - n(E1 Ç E2), bem como o simbolismo usado são estudados em Teoria dos conjuntos. Você encontrará esse conteúdo no site http://br.geocities.com/cesariof .

            2. Princípio Multiplicativo
             A figura a seguir representa estradas que ligam as cidades A até B e B até C.

Como se pode notar existem 4 possíveis escolhas (eventos) para ir de A até B e 3 para se ir de B até C. Ora, para se ir de A até C, passando por B, o número de caminhos será 4 x 3, pois, para cada escolha de um caminho de A até B teremos 3 escolhas para ir de B até C.

           Em situações como essa os eventos são dependentes e devem ocorrer simultaneamente. O que caracteriza a simultaneidade dos eventos é o conectivo “e” . Observe que no princípio aditivo o conectivo usado é o “ou”.
Generalizando: 

              “sejam E1, E2, E3, ...En, um conjunto de eventos que podem ocorrer de m1, m2, m3, ... mn maneiras diferentes.
        A quantidade de possibilidades para os eventos E1 e E2 e E3 e .... e En é m1.m2.m3. ... .mn .”


           Este princípio é chamado PRINCÍPIO MULTIPLICATIVO DA CONTAGEM.

 

Seguem algumas aplicações sobre os princípios aditivo e multiplicativo descritos acima.

Aplicação 1 - Certa pessoa
tem em seu sítio 4 frangos, 2 leitões e 3 carneiros. De quantas maneiras diferentes poderá ele escolher um frango ou um leitão ou um carneiro para a sua ceia de natal?
No caso, os eventos são E1 = {x | x é frango}; E2 ={x | x é leitão} e E3 = {x | x é carneiro}. Os números de possibilidades de ocorrerem os eventos E1, E2 e E3 são: 4, 2 e 3, respectivamente. Como E1 Ç
E2 Ç E3 = Æ, o numero total de possibilidades de ocorrer o evento E1, ou o evento E2 ou o evento E3 será 4 + 2 + 3 = 9. 
 
Aplicação 2 - Dos 20 alunos de uma classe, 7 foram reprovados em Biologia, 8 em Química e 3 em Biologia e Química. O número de maneiras diferentes de escolher um aluno reprovado em Biologia ou em Química será igual a 7 + 8 - 3 = 12.
Nesta situação, os eventos são: E1 = {x | x é reprovado em Biologia} e E2 = {x | x é reprovado em Química}.
Como n(E1) = 7, n(E2) = 8 e n(E1 Ç
E2) = 3, o número de possibilidades de escolher o evento E1 ou o evento E2 será n(E1) + n(E2) - n(E1 Ç E2) = 7 + 8 - 3 = 12.

Aplicação 3 - Considere os dígitos 1, 2, 3, 4. Quantos números de 4 algarismos podem ser escritos, começados com o dígito 1 e usando todos os quatro dígitos?
Existe apenas 1 possibilidade para escolher o dígito da esquerda (dígito 1).
Para o segundo dígito existem 3 possibilidades (2,3,4) pois o 1 já foi usado.
Para o terceiro dígito existem 2 possibilidades pois já foram escolhidos os dois dígitos anteriores.
Sobra então apenas 1 possibilidade para o quarto dígito.
Assim, a quantidade de números possíveis é 1 x 3 x 2 x 1 = 6.

Se na aplicação anterior fosse permitida a repetição de dígitos, o quantidade de números seria 4 x 4 x 4 x 4 = 256. Explique!

 

 

EXERCÍCIOS 01

1 – Uma sala tem 10 estudantes matriculados em Inglês, 15 em Espanhol e 12 em Francês, sendo que nenhum aluno pode estar matriculado em duas disciplinas ao mesmo tempo. De quantas maneiras diferentes podemos escolher um aluno que estudo Inglês ou Espanhol ou Francês? Que princípio foi aplicado na solução?

2 – Uma sala tem 16 estudantes matriculados em Inglês, 15 em Espanhol e 12 em Francês. Destes, 4 estudam Inglês e Espanhol mas não estudam Francês, 3 estudam Francês e Espanhol mas não estudam Inglês, 5 estudam Inglês e Francês mas não estudam Espanhol. 2 alunos estudam os três idiomas. De quantas maneiras diferentes podemos escolher um aluno que estude Inglês ou Espanhol? De quantas maneiras diferentes podemos escolher um aluno que estude Inglês, ou Francês ou Espanhol?

3 – Quantos números de 5 algarismos podemos escrever usando os algarismos 1, 2, 3, 4, 5, 6 e 7 sem que ocorra repetição de um mesmo algarismo no número?

4 – Quantos anagramas podem ser formados com as letras da palavra UNIPAC?

5 – Quantos anagramas começados por U podem ser formados com as letras de UNICOR?

6 – Em quantos anagramas da palavra UNIPAC as letras IP ficam juntas e nessa ordem?

7 – Um time de futebol dispõe de 5 jogos de meias, 6 de calções e 4 de camisas. De quantas maneiras diferentes esse tipo pode se apresentar uniformizado para uma partida?

8 – Quantas palavras diferentes, com 7 letras não repetidas, podem ser escritas com as letras da palavra IMACULO de modo que as consoantes fiquem separadas pelas vogais?

9 – Quantas palavras diferentes, de 6 letras não repetidas, podemos formar com as letras de PECADO, de modo que as consoantes fiquem separadas por vogais?

Criação e editoração Prof. Cesário Ferreira          PÁGINA INICIAL       AULA 02
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