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ESTATÍSTICA AULA Nº 02 UNIDADE 1 -INTRODUÇÃO À ANÁLISE COMBINATÓRIA Aula 03 |
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1.3 - ARRANJOS, COMBINAÇÕES e PERMUTAÇÕES SIMPLES
Dois agrupamentos podem diferenciar pela ordem ou pela natureza. Se você
está em uma mesa de pôquer, ao receber cinco cartas, digamos: um OITO,
um NOVE,
um
DEZ,
um
VALETE e uma DAMA, (suas chances de ganhar são grandes, principalmente
se forem do mesmo naipe) você formará um determinado jogo. É evidente
que se tivesse recebido
um
OITO, um NOVE, um REI,
um
VALETE e uma DAMA
(azar o seu, a não ser que sejam do mesmo naipe), o grupo de cartas recebidas será diferente. |
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Considerando os agrupamentos formados pelos elementos 1, 2 e 3, exibidos a seguir, é fácil observar que os mesmos diferem pela ordem, pois 123 é diferente de 231. |
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Somos
agrupamentos diferentes pois a ordem é diferente |
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| A troca de ordem em um agrupamento nem sempre resultará em agrupamentos diferentes. Imagine, por exemplo, que três alunas de sua sala sejam convocadas pelo coordenador para discutir sobre o fundo de formatura e que Marta, Marcela e Juliana sejam as escolhidas. Não importa em que ordem são chamadas, o agrupamento é o mesmo. | |||
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Apesar da troca
de ordem somos o mesmo agrupamento |
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| Com base na natureza e
na ordem dos agrupamentos podemos defini-los como segue: (i) ARRANJOS:- são agrupamentos que diferem pela ordem ou pela natureza. (ii) COMBINAÇÕES:- são agrupamentos que diferem apenas pela natureza. (iii) PERMUTAÇÕES:- são agrupamentos que diferem apenas pela ordem. Nas permutações, qualquer que seja o agrupamento, todos os elementos do conjunto deverão estar presentes. |
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1.4 - CÁLCULO DO NÚMERO DE ARRANJOS SEM REPETIÇÃO
Seja A = {a, b, c, d} um conjunto com 4 elementos. Se formarmos todos os
agrupamentos com 3 elementos, teremos: abc, abd, acb, acd, adb, adc, bac,
bad, bca, bcd, bda, bdc, cab, cad, cba, cbd, cda, cdb, dab, dac, dba,
dbc, dca, dcb, num total de 24 agrupamentos. Na formação dos grupos
existem 4 possibilidades para cada uma das letras ocupar a 1ª posição.
Escolhida essa letra, restam 3 possibilidades para a 2ª posição e 2
elementos para a 3ª posição. Vê-se então, com base no princípio
multiplicativo, que o número de agrupamentos, ou o número de arranjos de 4
elementos tomados três a três é A4,3 = 4.3.2 = 24. |
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| ATENÇÃO m! =
m.(m - 1).(m - 2)...3.2.1 0! = 1. Isto será justificado futuramente. EXEMPLO: Considerando os algarismos 1, 2, 3, 5, 6: (a) a quantidade de números de três algarismos, sem dígitos repetidos, que podem ser escritos com eles é: A5,3 = 5!/(5 - 3)! = 5!/2! = (5.4.3.2.1)/(2.1) = 60. Note que a questão se refere ao cálculo de arranjos pois 123 e 245 são diferentes por terem naturezas diferentes (são formados por algarismos diferentes. Também, 123 e 321 são diferentes, uma vez que foi modificada a ordem. (b) a quantidade de números de três algarismos em que não figura o dígito 5 é: A4,3 = 4!/(4 - 3)! = 4. Uma vez que o dígito 5 não será usado, devemos determinar os arranjos dos quatro dígitos restantes, tomados três a três. 1.5 - PERMUTAÇÃO SIMPLES Permutações dos elementos de um conjunto com m elementos são agrupamentos que se formam tomando todos os elementos do conjunto e trocando (permutando) as posições desses elementos. Seja, por exemplo, o conjunto A = {a, b, c}. As permutações de abc, são: abc, acb, bac, bca, cab, cba. É fácil observar que as permutações nada mais são que os arranjos de m elementos à taxa m. Denotando por Pm o número de permutações de m elementos pode-se concluir: Pm = m(m - 1)(m - 2) ... 3.2.1 ou seja |
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EXEMPLOS: 1 - Quantos são os anagramas formados com as letras da palavra UNIPAC? Anagramas são inversões das letras de uma palavra. No caso, UNICAP, CAPUNI, PUNICA, etc, são anagramas da palavra UNIPAC. Como nos anagramas devemos apenas trocar (permutar) a ordem das letras, o problema trata-se claramente do cálculo das permutação das seis letras da palavra UNIPAC. Portanto: P6 = 6! = 6.5.4.3.2.1 = 720. 2 - Quantos anagramas da palavra UNIPAC começam com a letra U? Como os anagramas devem começar com a letra U, devem-se permutar apenas as 5 outras letras. Neste caso, tem-se P5 = 5! = 5.4.3.2.1 = 120. 3 - Em quantos anagramas da palavra UNIPAC, as vogais aparecem separadas pelas consoantes? A partir do anagrama UNIPAC, permutando apenas as vogais obtém-se P3 = 3! = 3.2.1 = 6. Para cada distribuição das vogais tem-se P3 = 6 permutações das consoantes. Assim, começadas com vogais, são 6 x 6 = 36 anagramas. Como os anagramas podem também começar por consoante, o total de anagramas é então 2 x 36 = 72 . 4 - Em quantos anagramas da palavra UNIPAC, as letras I e P aparecem juntas e nessa ordem? Neste caso o agrupamento IP é considerado como um único elemento. Portanto, P5 = 5! = 5.4.3.2.1 = 120. Obs. Se a ordem de I e P pudesse ser modificada teríamos P5 x P2 = 120 x 2 = 240. Para o caso de uma palavra (ou número) com m letras (dígitos), se n letras (ou dígitos) devem ficar juntas (os) e a ordem pode ser modificada o número de agrupamentos será (m - n + 1)!.n! |
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1.6 - COMBINAÇÕES SIMPLES A tabela a seguir mostra os arranjos de 5 elementos (a, b, c, d, e) tomados 3 a 3. |
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Na tabela os elementos dispostos em cada linha diferem apenas pela
natureza. São, portanto, as combinações dos elementos {a, b, c, d, e}
tomados 3 a 3. Nas colunas são apresentadas as permutações dos
elementos que formam cada agrupamento constante da primeira linha.
Como são as permutações de 3 elementos, o total é 6! = 6.
Considerando todos os agrupamentos, uma vez que neles estão
apresentadas todas as situações diferenciadas pela ordem e/ou pela
natureza, tem-se, na tabela os arranjos dos seis elementos tomados
três a três. Ora, o total dos agrupamentos corresponde ao produto de
número de linhas pelo número de colunas, ou seja C6,3 x P3. Isto é: A5,3 = C5,3 . P3 ou C5,3 = A5,3/P3 Generalizando,podemos escrever: Cm,p = Am,p/Pp Þ |
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| EXEMPLO:
Qual é o número de comissões de 3 alunos que se podem formar tirados
em um conjunto de 7 alunos? Escolhendo três alunos em qualquer ordem, a comissão formada será única. Assim, a situação descreve uma aplicação característica de agrupamentos denominados combinações. Portanto, C7,4 = 7!/[(7 - 4)!.(4!) = 7.6.5.4.3.2.1/3.2.1.4.3.2.1 = = 7.5 = 35. A situação seria diferente se para os três alunos escolhidos fossem distribuídos presentes diferentes. Pois nesse caso, a distribuição ABC seria diferente da distribuição CAB. Nesta nova situação teremos uma aplicação de agrupamentos denominados arranjos. 1.7 - ALGUNS CASOS PARTICULARES DE COMBINAÇÕES Considerando um conjunto com "m" elementos: (1) o número de agrupamentos com taxa "p" em que não figuram "n" elementos é Cm-n,p. Observe que os "n" elementos não serão usados. (2) o número de agrupamentos com taxa "p" em que figuram "n" determinados elementos é Cm-n,p-n. Isto se justifica pois dos "m" elementos, "n" já são obrigatórios no agrupamento. Basta então escolher os "p - n" que completarão os agrupamentos e que deverão ser escolhidos dentre os "m - n" restantes. |
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| Após usar o aplicativo
não há necessidade de salvar o arquivo. Somente as células onde deverão ser digitados os valores poderão ser modificadas. |
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EXERCÍCIOS
2 – Considere os conjuntos A = {a,b, c, d, e} e B =
{r, s, t}. Escreva: |
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| Criação e editoração Prof. Cesário Ferreira PÁGINA INICIAL Aula 03 | |||
