1.8 - ARRANJOS COM REPETIÇÃO

        Nos arranjos com repetição,  cada um dos m elementos pode ser repetido até p vezes. Observe que nessa situação, p pode ser maior que m.  Para indicar os arranjos com repetição usa-se o símbolo (AR)_m,p.
        Tomando por exemplo o conjunto {a, b, c, d}, os arranjos dos 4 elementos tomados 3 a 3, com repetições são:
aaa, aab, aac, aad, aba, abb, abc, abd, aca, acb, acc, acd, ada, adb, adc, add, baa, bab, bac, bad, bba, bbb, bbc, bbd, bca, bcb, bcc, bcd, bda, bdb, bdc, bdd, caa, cab,. cac, cad, cba, cbb, cbc, cbd, cca, ccb, ccc, ccd, cda, cdb, cdc, cdd, daa, dab,. dac, dad, dba, dbb, dbc, dbd, dca, dcb, dcc, dcd, dda, ddb, ddc, ddd.
        A quantidade destes arranjos é determinada aplicando o princípio multiplicativo.

       Seja, então, o conjunto {a₁, a₂, a₃, ... a_m} de m elementos. Para se formar os arranjos com n elementos, são m possibilidades para a primeira posição, m para a segunda, m para a terceira e assim sucessivamente até a posição de número n. Aplicando o princípio multiplicativo resulta:

(AR)_m,n = m.m.m... m (n fatores) = mⁿ

A questão é bem simples, pois trata-se de arranjos de três elementos tomados 5 a 5.
Portanto o número de disposição dos cartões é (AR)_3,5 = 3⁵ = 243.

1.9 - PERMUTAÇÕES COM ELEMENTOS REPETIDOS

        Estuda-se nesse caso agrupamentos onde figuram todos os elementos do conjunto, sendo que parte dos elementos ou todos os elementos aparecem repetidos. Situações como esta ocorrem em questões onde se deseja escrever os anagramas da palavra ARARA onde o A aparece três vezes e o R aparece duas vezes, ou nos possíveis números de 5 algarismos que podem ser obtidos usando todos os algarismos de 33214.
        Calculemos então o número de tais permutações.
        Seja, por exemplo, o agrupamento aaabc. Indicamos por P₅³ o número de permutações possíveis com os cinco elementos em que três deles aparecem repetidos. Para cada uma dessas permutações seriam possíveis P₃ se os "as" fossem diferentes. O total de permutações, considerando os "as" diferentes será P₅ = P₅³ x P₃ Þ P₅³ = P₅ /P₃. Usando o mesmo raciocínio para aaabbc, teríamos P₆ = P₆^3,2 x P₃ x P₂ Þ P₆^3,2 = P₆/P₃.P₂. (o sinal Þ significa implica em)
Generalizando, sejam m elementos onde um certo elemento repete-se x vezes, outro y vezes, outro z vezes, e assim sucessivamente, teremos: P_m^{x, y, z...} = P_m/(P_x.P_y.P_z...), o que permite escrever a fórmula:

EXEMPLO: Os números de anagramas das palavras GEOGRAFIA e PSICOLOGIA (para não ter ciúmes coloquei os dois cursos) são:
(1) GEOGRAFIA - são 9 letras, aparecem dois(2) Gs e dois(2) As. P₉^2,2 = 9!/(2!.2!) = 362880/(2.2) = 90720.
(2) PSICOLOGIA - são 10 letras, aparecem dois(2) Os. P₁₀² = 10!/2! = 3628800/2 = 1814400.

                       
 

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      ARRANJOS           COMBINAÇÕES           PERMUTAÇÕES

EXERCÍCIOS

1 - Usando os algarismos 1, 2, 3, 4, 5, 6.
( a ) quantos números de 4 algarismos distintos podemos escrever?
( b ) quantos números de 4 algarismos podem ser escritos?
( c ) quantos números de 4 algarismos podem ser escritos, começados com 1 e terminados em 6?

2 - Considere a palavra MATEMÁTICA (não levar em conta o acento). 
( a ) quantos anagramas são possíveis?
( b ) em quantos destes anagramas as vogais aparecem separadas pelas consoantes?
( c ) em quantos as consoantes aparecem juntas?