HOME
ESTATÍSTICA
AULA Nº 03
UNIDADE 1 -INTRODUÇÃO À ANÁLISE COMBINATÓRIA                                          Aula 04

1.8 - ARRANJOS COM REPETIÇÃO

        Nos arranjos com repetição,  cada um dos m elementos pode ser repetido até p vezes. Observe que nessa situação, p pode ser maior que m.  Para indicar os arranjos com repetição usa-se o símbolo (AR)m,p.
        Tomando por exemplo o conjunto {a, b, c, d}, os arranjos dos 4 elementos tomados 3 a 3, com repetições são:
aaa, aab, aac, aad, aba, abb, abc, abd, aca, acb, acc, acd, ada, adb, adc, add, baa, bab, bac, bad, bba, bbb, bbc, bbd, bca, bcb, bcc, bcd, bda, bdb, bdc, bdd, caa, cab,. cac, cad, cba, cbb, cbc, cbd, cca, ccb, ccc, ccd, cda, cdb, cdc, cdd, daa, dab,. dac, dad, dba, dbb, dbc, dbd, dca, dcb, dcc, dcd, dda, ddb, ddc, ddd.
        A quantidade destes arranjos é determinada aplicando o princípio multiplicativo.

       Seja, então, o conjunto {a1, a2, a3, ... am} de m elementos. Para se formar os arranjos com n elementos, são m possibilidades para a primeira posição, m para a segunda, m para a terceira e assim sucessivamente até a posição de número n. Aplicando o princípio multiplicativo resulta:

(AR)m,n = m.m.m... m (n fatores) = mn

 

EXEMPLOS
1 - Nos cartões da loteca são relacionadas 14 partidas de futebol em uma cartela onde você pode marcar com um "x" o seu palpite. Veja figura a seguir.
Nesta situação, você tem três opções (coluna 1, coluna do meio e coluna 2) para o jogo 1, três opções para o jogo 2 e assim até o jogo 14. Pelo visto acima, o número possível de jogos simples é (AR)3,14 = 314 = 4.782.969.
Neste tipo de jogo você tem direito a um jogo duplo. Isto corresponde a dois jogos simples.

Agora, quer um conselho? Não jogue, suas chances são muito pequenas e a cada R$104,50 arrecadados você só recebe R$45,00. O resto só Deus sabe (espero!) para onde vai.

2 - A professora do Joãozinho, aquele das piadas nada convencionais, trouxe para a sala cinco cartões amarelos todos com a letra A, cinco cartões vermelhos todos com a letra B e cinco com a letra C. De quantas maneiras diferentes podem ser dispostos cinco destes cartões?
 


A questão é bem simples, pois trata-se de arranjos de três elementos tomados 5 a 5.
Portanto o número de disposição dos cartões é (AR)3,5 = 35 = 243.

 

1.9 - PERMUTAÇÕES COM ELEMENTOS REPETIDOS

        Estuda-se nesse caso agrupamentos onde figuram todos os elementos do conjunto, sendo que parte dos elementos ou todos os elementos aparecem repetidos. Situações como esta ocorrem em questões onde se deseja escrever os anagramas da palavra ARARA onde o A aparece três vezes e o R aparece duas vezes, ou nos possíveis números de 5 algarismos que podem ser obtidos usando todos os algarismos de 33214.
        Calculemos então o número de tais permutações.
        Seja, por exemplo, o agrupamento aaabc. Indicamos por P53 o número de permutações possíveis com os cinco elementos em que três deles aparecem repetidos. Para cada uma dessas permutações seriam possíveis P3 se os "as" fossem diferentes. O total de permutações, considerando os "as" diferentes será P5 = P53 x P3
Þ P53 = P5 /P3. Usando o mesmo raciocínio para aaabbc, teríamos P6 = P63,2 x P3 x P2 Þ P63,2 = P6/P3.P2. (o sinal Þ significa implica em)
Generalizando, sejam m elementos onde um certo elemento repete-se x vezes, outro y vezes, outro z vezes, e assim sucessivamente, teremos: Pmx, y, z... = Pm/(Px.Py.Pz...), o que permite escrever a fórmula:

EXEMPLO: Os números de anagramas das palavras GEOGRAFIA e PSICOLOGIA (para não ter ciúmes coloquei os dois cursos) são:
(1) GEOGRAFIA - são 9 letras, aparecem dois(2) Gs e dois(2) As. P92,2 = 9!/(2!.2!) = 362880/(2.2) = 90720.
(2) PSICOLOGIA - são 10 letras, aparecem dois(2) Os. P102 = 10!/2! = 3628800/2 = 1814400.

                       
 

Você pode usar os aplicativos abaixo para resolver os exercícios abaixo.
      ARRANJOS           COMBINAÇÕES           PERMUTAÇÕES

EXERCÍCIOS

1 - Usando os algarismos 1, 2, 3, 4, 5, 6.
( a ) quantos números de 4 algarismos distintos podemos escrever?
( b ) quantos números de 4 algarismos podem ser escritos?
( c ) quantos números de 4 algarismos podem ser escritos, começados com 1 e terminados em 6?

2 - Considere a palavra MATEMÁTICA (não levar em conta o acento). 
( a ) quantos anagramas são possíveis?
( b ) em quantos destes anagramas as vogais aparecem separadas pelas consoantes?
( c ) em quantos as consoantes aparecem juntas?

3 - ( a ) Quantos números de 6 algarismos podemos escrever usando os algarismos do número 334223?
     ( b ) Quantos desses números são pares?


4 - Algumas frases podem ser lidas de frente para trás e de trás para a frente como em "SOCORRAM-ME, SUBI NO ÔNIBUS EM MARROCOS". Considerando a frase "ROMA ME TEM AMOR", que é do mesmo tipo, e ligando as letras para formar uma única palavra, quantos anagramas seriam possíveis com essa frase?

Criação e editoração Prof. Cesário Ferreira          PÁGINA INICIAL            Aula 04