ELEMENTOS DE MATEMÁTICA E RACIOC

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ELEMENTOS DE MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO
AULA Nº 10
CONTEÚDO: ARRANJOS, COMBINAÇÕES E PERMUTAÇÕES Versão para impressão aula 11

3 - ARRANJOS, COMBINAÇÕES e PERMUTAÇÕES SIMPLES

Dados os agrupamentos ABC, ACB e ADB, observe que apesar de ABC e ACB serem formados pelos mesmos elementos, eles diferem pela ordem. Quanto aos agrupamentos ABC e ADB, estes diferem pela natureza pois são formados por elementos diferentes. É evidente que se dois agrupamentos apresentam elementos diferentes eles são também diferentes. Entretanto, nem sempre ABC e ACB podem ser considerados como agrupamentos. Se tomarmos, por exemplo, ABC e ACB são alunos escolhidos para representar uma classe. Em casos como esse, os grupos ABC e ACB são considerados como um único agrupamento. Se A, B e C são algarismos, é evidente que ABC é diferente de ACB.
Considerando a ordem e a natureza, são definidos os seguintes tipos de agrupamentos: ARRANJOS, COMBINAÇÕES E PERMUTAÇÕES.

(i) ARRANJOS:- são agrupamentos que diferem pela ordem ou pela natureza.

(ii) COMBINAÇÕES:- são agrupamentos que diferem apenas pela natureza.

(iii) PERMUTAÇÕES:- são agrupamentos que diferem apenas pela ordem. Neste caso, em cada agrupamento devem figurar todos os elementos do conjunto.

Tomemos por exemplo o conjunto formado por 5 pessoas {Maria, João, José, Antônio, Marcela}.

Se dispusermos de 5 lugares e queremos determinar o número de formas das cinco pessoas se assentarem, teremos um caso específico de PERMUTAÇÃO, pois todos os elementos devem figurar em cada um dos agrupamentos possíveis.

Considerando ainda as cinco pessoas do conjunto acima,

se forem escolhidas três das cinco pessoas para formar uma comissão de representação da turma, o problema passa a ser resolvido por COMBINAÇÃO, pois o agrupamento {Maria, João, José} será equivalente ao agrupamento {José, João, Maria}, pois a comissão será a mesma.

se resolvermos distribuir três medalhas, uma de ouro, outra de prata e outra de bronze para três das cinco pessoas, a situação será um exemplo típico de ARRANJOS, pois os agrupamentos {Maria, João, José} e {José, João, Maria} são diferentes uma vez que no primeiro caso a medalha de outro cabe a Maria e no segundo caso, a medalha de ouro caberá a José.

Os problemas que envolvem ARRANJOS e PERMUTAÇÕES podem ser resolvidos pelo princípio multiplicativo.

4 - CÁLCULO DO NÚMERO DE ARRANJOS SEM REPETIÇÃO

Seja A = {a, b, c, d} um conjunto com 4 elementos.
Formando todos os agrupamentos com 3 elementos, temos: abc, abd, acb, acd, adb, adc, bac, bad, bca, bcd, bda, bdc, cab, cad, cba, cbd, cda, cdb, dab, dac, dba, dbc, dca, dcb, num total de 24 agrupamentos.
Na formação dos agrupamentos existem 4 possibilidades para cada uma das letras ocupar a 1ª posição. Escolhida essa letra, restam 3 possibilidades para a 2ª posição e 2 elementos para a 3ª posição.
Desta forma vê-se que, pelo princípio multiplicativo, o número de agrupamentos, ou o número de arranjos de 4 elementos tomados três a três (taxa 3) é A_4,3= 4.3.2 = 24.
Generalizando, para m elementos tomados à taxa p, teremos: 1ª posição, m possibilidades, 2ª posição, (m - 1) possibilidades, 3ª posição, (m - 2), ...., pª posição, (m - p + 1).

Assim, A_m,p = m(m - 1)(m - 2)(m - 3) ....(m - p + 1),

ou seja: A_m,p = produto de p fatores tomados em ordem decrescente a partir de m.

Veja um exemplo: A_9,4 = 9 x 8 x 7 x 6 = 3024.

Multiplicando e dividindo a expressão A_m,p = m(m - 1)(m - 2)(m - 3) ....(m - p + 1) por todos os inteiros de m - p até 1 resultará:
A_m,p = [m(m - 1)(m - 2)(m - 3) ....(m - p + 1)(m - p)(m - p - 1) ... 3.2.1]/[(m - p)(m - p - 1) ... 3.2.1].

O produto de todos os inteiros de m até 1 é representado por m! que se lê fatorial de m.

Desta forma:

   Exemplos:
        (1) Quantos número de quatro algarismos distintos podemos escrever se dispomos dos apenas dos algarismos 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7?
             Solução: devemos levar em conta os seguintes fatos
             (i) são 7 algarismos disponíveis m = 7;
             (ii) em cada número são usados quatro algarismos, p = 4;
             (iii) não se pode repetir algarismo no mesmo número;
             (iv) se for trocada a ordem dos algarismos em um número, obtém-se um número (agrupamento) diferente.
Assim, a questão trata-se de calcular o número de arranjos de sete elementos tomados quatro a quatro, ou seja A_7,4.
Aplicando a fórmula tem-se: A_7,4= 7!/(7-4)! = 7.6.5.4.3.2.1/(3.2.1) = 7.6.5.4 = 840.
Portanto, são 840 números possíveis.

(2) De quantas maneiras cinco pessoas podem ocupar duas cadeiras?
            Solução: levando em consideração os fatos
             (i) são 5 pessoas m = 5;
             (ii) são apenas duas cadeira p = 2;
             (iii) a mesma pessoa não pode assentar em duas cadeiras ao mesmo tempo;
             (iv) escolhidas duas pessoas para as cadeiras, digamos as pessoas A e B, ao assentar A na primeira cadeira e B na segunda, o    resultado seria diferente se B assentar na primeira e A na segunda cadeira.
Desta forma tem-se A5,2 = 5!/(5 - 2)! = 5.4.3.2.1/3.2.1 = 5.4 = 20. São então 20 formas diferentes de distribuir as pessoas pelas cadeiras.

            ATENÇÃO: digamos que você disponha de 5 bebidas e deseje criar drinques com três bebidas. Situação como essa não pode ser resolvida usando arranjos pois a ordem das bebidas no drinque não vai levar a um drinque diferentes. Isto é o drinque ABC é igual ao drinque CAB.

5 - PERMUTAÇÃO SIMPLES

Permutações dos elementos de um conjunto com m elementos são agrupamentos que se formam tomando todos os elementos do conjunto e trocando (permutando) as posições desses elementos. Seja, por exemplo, o conjunto A = {a, b, c}. As permutações de abc, são: abc, acb, bac, bca, cab, cba. É fácil observar que as permutações nada mais são que os arranjos de m elementos à taxa m. Denotando por P_m o número de permutações de m elementos pode-se concluir: P_m = m(m - 1)(m - 2) ... 3.2.1 ou seja

Exemplos:
1 - Quantos são os anagramas formados com as letras da palavra UNIPAC?
     P₆ = 6! = 6.5.4.3.2.1 = 720
2 - Quantos destes anagramas começam com a letra U?
     Como os anagramas devem começar com a letra U, devem-se permutar apenas as 5 outras letras. Neste caso, tem-se P₅ = 5! = 5.4.3.2.1 = 120.
3 - Em quantos anagramas as vogais aparecem separadas pelas consoantes?
     A partir do anagrama UNIPAC, permutando apenas as vogais obtém-se P₃ = 3! = 3.2.1 = 6. Para cada distribuição das vogais tem-se P₃ = 6 permutações das consoantes. Assim, começadas com vogais, são 6 x 6 = 36 anagramas. Como os anagramas podem também começar por consoante, o total de anagramas é então 2 x 36 = 72 .

6 - COMBINAÇÕES SIMPLES

A tabela a seguir mostra os arranjos de 5 elementos (a, b, c, d, e) tomados 3 a 3.

Na tabela os elementos dispostos em cada linha diferem apenas pela natureza.
Assim em cada linha são exibidas as combinações dos 5 elementos tomados 3 a 3, num total de 10.
Cada coluna é formada pelas permutações dos elementos que formam cada agrupamento constante da primeira linha, apresentando 6 elementos por coluna.
Os 60 arranjos, constituídos por todos os elementos do quadro, é igual ao produto do número de elementos de cada linha C_5,3 pelo número de elementos de cada coluna P₃.
Em conclusão: A_5,3= C_5,3 . P₃ ou C_5,3 = A_5,3/P₃

Generalizando, C_m,p = A_m,p/P_p Þ

Exemplo: Qual é o número de comissões de 3 alunos que se podem formar tirados em um conjunto de 7 alunos?
Escolhendo três alunos em qualquer ordem, a comissão formada será única. Assim, a situação descreve uma aplicação característica de agrupamentos denominados combinações. Portanto, C7,4 = 7!/[(7 - 4)!.(4!) = 7.6.5.4.3.2.1/3.2.1.4.3.2.1 =
= 7.5 = 35.

A situação seria diferente se para os três alunos escolhidos fossem distribuídos presentes diferentes. Pois nesse caso, a distribuição ABC seria diferente da distribuição CAB. Nesta nova situação teremos uma aplicação de agrupamentos denominados arranjos.

1 - Calcule: ( a ) A_6,2 ( b ) A_10,4 ( c ) P₄ ( d ) P₇ ( e ) C_8,3 ( f ) C_10,4.

2 – Considere os conjuntos A = {a,b, c, d, e} e B = {r, s, t}. Escreva:
(a) todos os arranjos possíveis, de 2 elementos, formados pelos elementos do conjunto A.
(b) todas as combinações possíveis, de 3 elementos, formados pelos elementos do conjunto A.
(c) todas as permutações formadas pelos elementos do conjunto B.

3 - Um restaurante oferece no cardápio 2 saladas distintas, 4 tipos de pratos de carne, 5 variedades de bebidas e 3 sobremesas diferentes. De quantas maneiras diferentes uma pessoa poderia fazer um pedido contendo, uma salada, um tipo de carne e 1 sobremesa?

4 - Um inspetor visita 6 máquinas diferentes durante o dia. A fim de evitar que os operários saibam quando ele os irá inspecionar, o inspetor varia a ordem de suas visitas. De quantas maneiras diferentes poderão ser feitas as visitas?

5 - Cinco alunos foram escolhidos para representar uma turma de um colégio durante o hasteamento da bandeira. Se for necessário que os mesmos formem uma fila, de quantas maneiras diferentes podem ser dispostos os alunos?

6 - De uma sala de 25 alunos devem ser escolhidos 5 alunos para receberem prêmios. De quantas maneiras diferentes poderão ser distribuídos os prêmios se:
( a ) se todos os prêmios forem iguais
( b ) se os prêmios forem diferentes.

7 - Quantos números maiores que 5000 podem ser escritos se forem usados os algarismos 1, 4, 5, 7, 8 e 9?

8 - Dos 10 alunos de um grupo devem ser escolhidos 6. De quantas maneiras isto é possível se,
( a ) dois dos alunos devem sempre fazer parte do grupo dos 6?
( b ) dois dos alunos não podem ser escolhidos?
( c ) os alunos A e B não podem estar juntos no grupo dos 6?
9 - Qual é o número de anagramas da palavra ALUNO que têm as vogais em ordem alfabética?

10 - Cinco pessoas decidem viajar num automóvel. De quantas maneiras diferentes eles podem se assentar se:
(a ) todos sabem dirigir ( b ) apenas 1 sabe dirigir ( c ) se dois sabem dirigir.

Criação e editoração: Prof. Cesário José Ferreira Página inicial Aula 11