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ELEMENTOS DE MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO
AULA Nº  20
CONTEÚDO: INVERSÃO DE MATRIZES                                                               Versão para impressão

1 - DEFINIÇÃO

            Seja A uma matriz quadrada de ordem n. Define-se a inversa da matriz A, que se indica por A-1,  à matriz de ordem n, tal que A-1 . A = A . A-1 = In, onde In é a matriz identidade de ordem n.

2 – INVERSA DE UMA MATRIZ DE ORDEM 2 X 2

Seja a matriz A = e sua inversa A-1 =
De acordo com a definição

Efetuando a multiplicação, obtém-se os sistemas:
   (1) ax + bz = 1         (2)   ay + bw = 0
        cx + dz = 0                cy + dw = 0

Resolvendo os sistemas serão obtidos os valores de x, y, z e w, e em conseqüência a matriz inversa.
Para resolver o sistema 1, multipliquemos a 1ª equação por d e somemos à 2ª multiplicada por  - c. 
Isto elimina a variável w.
Obtemos então   (ad – bc)x = d
Þ x = d/(ad – bc) .
Para eliminar a variável x, multiplicamos a 1ª equação por – b e a segunda por a.
Somando as equações, teremos: (ad – bc)y = -b
Þ y = -b/(ad – bc).
         Por procedimento semelhante, obtém-se: z = -c/(ad – bc)  e w = a/(ad – bc). Resulta então:


         A fração 1/(ad - bc) pode ser escrita também como 1/det(A) pois det(A) = ad - bc.
        
Esquema para obter a inversa de uma matriz 2 X 2

3 – MATRIZ ADJUNTA

     Seja A = [aij]n uma matriz quadrada. Define-se a adjunta da matriz A, que denotaremos por   ou A(AD) , como sendo a matriz de ordem n, e cujos elementos aij são os complementos dos elementos aij da matriz A.

Lembre-se que aij = (-1)i + j .det(matriz que sobra ao cortar a linha i a coluna j da matriz A).

.
Calculando os complementos algébricos temos:

PROPRIEDADES DA MATRIZ ADJUNTA

P1 – A soma dos produtos dos elementos de uma fila da matriz A pelos elementos de igual fila da matriz A  é igual ao determinante da matriz (teorema de Laplace)

P2 – A soma dos produtos dos elementos de uma fila da matriz A por elementos de qualquer fila paralela de A é igual a zero.

4 – ADJUNTA E INVERSA

          Teorema:
A inversa de uma matriz quadrada, com determinante diferente de zero, é (1/det(A)).()T.

Demonstração: 
 
uma matriz quadrada e a transposta de sua adjunta.

Veja como calcular a inversa de matriz 3x3
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Seja ainda cij os elementos do produto  A . ()T. Temos então: 
(i) de acordo com o teorema de Laplace:
(ii) de acordo com a propriedade 2 do item 3:
Assim, o produto A.()T é uma matriz C = [cij]n cujos elementos cij = det(A), para i = j e cij = 0 para i  ¹ j.
Desta forma C = det(A).In onde I é a matriz identidade.
Portanto, (1/det(A)).C = I. Ou seja: (1/det(A))A.()T = I ==> (1/det(A))()T é a inversa de A.
Conseqüência: somente matrizes cujo determinante é diferente de zero têm matrizes inversas.
Justificativa: Como A-1 = (1/det(A))()T com det(A) = 0, 1/det(A) não existe.
Exemplo:- Considerando a matriz do exemplo resolvido no item 4.3
O determinante da matriz A pode ser obtido somando os produtos dos elementos de uma fila de A  pelos elementos de fila de mesma ordem de A.
Usando as primeiras filas de A e , temos det(A) = 1.(-46) + 3.3 + 2.38 = -46 + 9 + 76 = 39
.
Assim:

5 – ALGUMAS PROPRIEDADES ENVOLVENDO A MATRIZ INVERSA

       P1.  Se A e B são inversíveis então (AB)-1 = B-1.A-1.

Demonstração:-  Provemos que AB é a inversa de B-1.A-1.
Temos: (B-1.A-1). AB = B-1(A-1.A)B = B-1.I.B = B-1.B = I
è AB é a inversa de B-1.A-1 . Como (AB)-1 é a inversa de AB, e a inversa é única, resulta que (AB)-1 = B-1.A-1.

         P2.  (AB)T = BT.AT.

Demonstração:- Sejam A = [aij]mxn,  B = [bij]nxp,  C = AB = [cij]mxp. Os elementos de suas transpostas serão indicados por aijT, bijT, cijT, respectivamente.
Assim, aijT = aji, bijT  = bji e cijT = cji.

 

resulta: (AB)T = BT.AT

       
  P3.  (AT)-1 = (A-1)T.


Demonstração:-
Provemos que AT é a inversa de (A-1)T.
Temos:  (A-1)T.A  = (A.A-1)T = IT = I
è AT é a inversa de (A-1)T. Como (AT)-1 é a inversa de AT, e a inversa é única, resulta (A-1)T = (AT)-1.
 

6 - RESOLVENDO EQUAÇÕES MATRICIAIS

         Dada uma matriz quadrada A podemos, como já foi visto, definir as matrizes -A e A-1, tais que:

(i) A + (-A) = 0 (matriz nula) e
(ii) A.A-1 = I (matriz identidade).
A matriz identidade goza da propriedade A.I = I.A = A.

A partir destas observações podemos resolver qualquer equação matricial do tipo A + B.X = C.
Teremos  A + B.X = C Û B.X = C + (-A) Û B-1.B.X = B-1.(C - A) Û X = B-1.(C - A).
Para equação do tipo A + X.B = C, devemos fazer X.B.B-1 = (C - A).B-1 pois a multiplicação de matrizes não é comutativa.

Exemplo: Determinar a matriz X, tal que:   A + B.X = C, sendo


EXERCÍCIOS

1 - Calcule as inversas das matrizes abaixo:


3 - Calcule a inversa da matriz 2A - 3B + 4C, sendo A, B e C as matrizes do exercício 1.

4 - Considerando as matrizes A, B e C do exercício 1, determine:
     (a) (A.B)-1        (b) A-1.B-1      c) B-1.A-1       d) (B.A)-1.       e) ((AB)T)-1     
     (f) ((AB)-1)T     (g) (AT)-1.(BT)-1       (h) (B-1)T.(A-1)T       (i) (A-1)T.(B-1)T
     Que conclusões você tira, a partir dos resultados?

5 - Qual é a condição necessária e suficiente para que uma matriz quadrada tenha uma inversa?


Determine a matriz X para cada uma das equações matriciais abaixo:
a) AX + B = C               b) XA + 2B = C             
c) AX  + B = CX            d) XA + C = X

7 – Encontre, se houver, a inversa de cada uma das matrizes abaixo:  





8 - Usando as matrizes dos itens “e”   e   “f” do exercício nº 7,  chame-as de A e B, respectivamente.
a) Determine uma matriz X tal que AX + B = 0
b) Determine uma matriz X tal que XA – B = 0
c) Calcule (A-1)t e (At)-1.
d) Calcule (AB)t e Bt.At.
8 - Escreva a matriz que transforma
Sugestão: Sendo X a matriz transformadora, faça X.A = B e calcule a matriz X.
9 - (AUDITOR FISCAL DA RECEITA ESTADUAL-MG -03/07/2005) - A, B e C são matrizes quadradas de mesma ordem, não singulares e diferentes da matriz identidade. A matriz C é igual ao produto A Z B, onde Z é também uma matriz
quadrada. A matriz Z, portanto, é igual a:
a) A-1BC     b) AC-1B-1      c) A-1C B-1      d) ABC-1      e) C-1B-1A-1

10 - (GESTOR FAZENDÁRIO - MG - 19/06/2005) - Considere duas matrizes de segunda ordem, A e B, sendo que B = 21/4 A. Sabendo que o determinante de A é igual a 2-1/2 , então o determinante da matriz B é igual a:
a) 21/2       b) 2      c) 2–1/4      d) 2–1/2      e) 1

11 - (Técnico MPU/2004-2) O determinante da matriz ao lado, onde a e b são inteiros positivos tais que a>1 e b>1, é:
a) -60a   b) 0  c) 60a   d) 20ba2   e) a(b-60)

12 - (MPOG 2002) A transposta de uma matriz qualquer é aquela que se obtém trocando linhas por colunas. Sabendo-se que uma

matriz quadrada de segunda ordem possui determinante igual a 2, então o determinante do dobro de sua matriz transposta é igual a:
a) –2     b) –1/2     c) 4     d) 8     e) 1

13 - (AFC-STN-2000) Uma matriz quadrada X de terceira ordem possui determinante igual a 3. Sabendo-se que a matriz Z é a transposta da matriz X, então a matriz Y = 3Z tem determinante igual a
a) 1/3    b) 3    c) 9   d) 27   e) 81

14 - (
PREF. MUN. DE STA. CRUZ DO CAPIBARIBE – 2008) - Na sala de aula um aluno observou no quadro um problema sobre Matrizes, o qual estava incompleto, e tentou resolvê-lo. Sabe-se que o problema trata de uma multiplicação de matrizes. Observe abaixo uma replica de como o aluno viu o problema. Nessas condições, pode-se afirmar que:
a) a matriz que se encontra inelegível, é de 2º ordem;
b) a soma de todos os termos da matriz apagada é 8; 
c) o produto de todos os termos da matriz apagada é 12;
d) o valor do termo a11 é 5;
e) a valor da soma da diagonal principal da matriz apagada é 12.

15 - (SERPRO 1997) Uma matriz quadrada A, de terceira ordem, possui determinante igual a 5. O determinante da matriz 2A é igual a:
a) 5   b) 10   c) 20   d) 40   e) 80

Criação e editoração: Prof. Cesário José Ferreira                 Página inicial         aula 01