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RACIOCÍNIO LÓGICO
AULA Nº 04
CONTEÚDO: LÓGICA DAS PROPOSIÇÕES                                       Versão para impressão   Aula 05

10 - CONVERSÃO DE CONECTIVOS

         É possível transformar proposições ligadas pelos conectivos "Se...então..." (CONDICIONAL), "Ou...Ou..." (DISJUNÇÃO EXCLUSIVA) e "...se e somente se..." (BICONDICIONAL) em proposições equivalentes que usam apenas os conectivos "e" (CONJUNÇÃO) e "ou" (DISJUNÇÃO). Estas transformações são importantes principalmente nas negações de proposições compostas pela condicional, pela disjunção exclusiva e pela bicondicional, bem como quando se trabalha com programas de planilhas como o Excel.

      - A CONDICIONAL
           Construindo as tabelas verdade da condicional p
® q  e da disjunção ~p Ú q, tem-se:
 


 

 A vida de um nordestino
p q p ® q
V V V
V F F
F V V
F F V
A famosa maria fumaça
p q ~p ~p Ú q
V V F V
V F F F
F V V V
F F V V
 
          Observe que as tabelas dos valores lógicos de p ® q e ~p Ú q são iguais. Assim, pode-se concluir que as duas proposições se equivalem.
Isto é:
         dizer que "Se Maria é estudiosa então Maria é aprovada" é equivalente
         a dizer "Maria não é estudiosa ou Maria é aprovada".
     


 
Isto será aplicado nos itens posteriores.

 

O Rio Amazonas

  Obs: o sinal Û significa "equivale a".

      - A BICONDICIONAL

        Conforme já visto anteriormente, a bicondicional é uma conjunção de duas condicionais.
  Isto é p
« q Û (p ® q) Ù (q ® p).
  Levando em consideração o exposto na correspondência das condicionais, pode-se escrever:
  p
« q Û (p ® q) Ù (q ® p) Û (~p Ú q) Ù  (~q Ú p).
 

         Será provado futuramente que p « q Û (p Ù q) Ú  (~p Ù ~q) quando forem estudadas as propriedades dos conectivos e for definida a proposição "contradição".


      - A DISJUNÇÃO EXCLUSIVA

        Revendo as tabelas da bicondicional e da disjunção exclusiva, tem-se:
p q p « q p Ú q
V V V F
V F F V
F V V F
F F F V

Memorial da Cultura Indígena - Campo Grande - MS

 
Conforme se pode observar a disjunção exclusiva é a negação da bicondicional. Pode-se então escrever:

 
 

Praia do Maçarico - Salinas - Estado do Pará

Praia de Coroa Vermelha - Porto Seguro - Bahia


11 - NEGAÇÃO DE PROPOSIÇÃO COMPOSTA

       Negar proposições como,
         (1) Maria é bonita ou João foi ao cinema;
         (2) ele bebe e não fica tonto;
         (3) se João não foi ao cinema então Maria comprou o filme,
à primeira vista parece que basta negar cada proposição simples que compõem a proposição composta. Porém não é bem assim,  como será visto a seguir por meio de tabelas verdade.


Pico da Neblina - Amazonas - 3014 m - Mais alto do Brasil



- NEGAÇÃO DA DISJUNÇÃO E DA CONJUNÇÃO

           Negar uma disjunção consiste em negar cada uma das proposições combinadas e trocar o conectivo "ou" pelo conectivo "e".
Da mesma forma, negar uma conjunção consiste em negar cada uma das proposições e trocar o conectivo "e" pelo conectivo "ou".
As tabelas a seguir mostram a validade dessas afirmações.

 

(1) Para a DISJUNÇÃO

p q p Ú q ~(p Ú q) ~p ~q ~p Ù ~q
V V V F F F F
V F V F F V F
F V V F V F F
F F F V V V V
1 2 3 4 5 6 7

Serra da Mantiqueira - Divisas dos Estados São Paulo, Minas e Rio de Janeiro

Observando as colunas 4 e 7 da tabela vê-se que     ~(p Ú q) Û ~p Ù ~q.

Exemplos:
(I) a negação de "Maria é bonita ou Maria é estudiosa" é "Maria não é bonita e Maria não é estudiosa".
(II) a negação de "Maria não é bonita ou Maria é estudiosa" é "Maria é bonita e Maria não é estudiosa".

(2) Para a CONJUNÇÃO

Serra de Ibitipoca - Minas Gerais

p q p Ù q ~(p Ù q) ~p ~q ~p Ú ~q
V V V F F F F
V F F V F V V
F V F V V F V
F F F V V V V
1 2 3 4 5 6 7

                                                                                    Da tabela, colunas 4 e 7, resulta     ~(p Ù q) Û ~p Ú ~q

- NEGAÇÃO DA CONDICIONAL

    
 Do exposto no item 10 anterior, a condicional p
® q, equivale a ~p Ú q.
Tem-se então: ~(p
® q) Û ~(~p Ú q). Aplicando o princípio da negação da disjunção resulta:
~(p
® q) Û ~(~p Ú q) ~(~p) Ù ~q Û p Ù ~q.


Portanto,

~(p
® q) Û p Ù ~q.
   

Assim, a negação da proposição "se chove então faz frio" é "chove e não faz frio".


- NEGAÇÃO DA
BICONDICIONAL

     
Da equivalência p
« q Û (~p Ú q) Ù  (~q Ú p), tira-se ~(p « q) Û ~[(~p Ú q) Ù  (~q Ú p)]. Usando a negação da conjunção:
~(p
« q) Û ~[(~p Ú q) Ù  (~q Ú p)] Û ~(~p Ú q) Ú  ~(~q Ú p).
Aplicando a negação da disjunção nos dois termos, resulta:
~(p
« q) Û (p Ù ~q) Ú  (q Ù ~p).
Usando a distributividade da disjunção em relação à conjunção:

Cristo Redentor - Rio de Janeiro

~(p « q) Û [(p Ù ~q) Ú q] Ù [(p Ù ~q) Ú (~p)]
Reaplicando a distributividade da disjunção em relação à conjunção:
~(p
« q) Û [(p Ú q) Ù (~q Ú q)] Ù [(p Ú ~p) Ù (~q Ú ~p) ].
 Ora,
(~q Ú q)  e (p Ú ~p) são verdades absolutas. O julgamento de uma proposição qualquer ligada a uma verdade absoluta pelo conectivo "e", depende apenas da veracidade ou não de tal proposição.
Deste modo, conclui-se que:


~(p « q) Û (p Ú q) Ù (~q Ú ~p).
 

Festa do boi bumbá - Parintins - Pará Exemplo: a negação da proposição "Maria fica feliz se e somente se Pedro está presente" é "Maria fica feliz ou Pedro está presente e  Maria não fica feliz ou Pedro não está presente".

    

Dança de capoeira - Salvador - Bahia


- A DISJUNÇÃO EXCLUSIVA

        Revendo as tabelas da bicondicional e da disjunção exclusiva, tem-se:

Festas juninas - A quadrilha - Minas Gerais

p q p « q p Ú q
V V V F
V F F V
F V V F
F F F V

Observando a tabela nota-se que, toda vez que a bicondicional é verdadeira, a disjunção exclusiva é falsa e, toda vez que a bicondicional é falsa, a disjunção exclusiva é verdadeira.        

Folia dos Reis - Vários estados.

Disto se conclui que: a negação do "se e somente" se é a "disjunção exclusiva".

Em resumo:   ~(p « q) Û  p Ú q .
 

Assim, a negação de "Maria fica feliz se e somente se Pedro está presente"  é também "ou Maria fica feliz ou Pedro está presente".
 

Círio de Nazaré - Belém do Pará

Congada - Minas Gerais


12 - TAUTOLOGIA, CONTRADIÇÃO E CONTINGÊNCIA

    
        Construindo as tabelas verdades das seguintes proposições
(1) P(p, q) = (p
Ù q) « (q Ù p),   
(2) P(p, q) = ~(p
Ú q)  ® (p « q),
(3) P(p, q) = ~p
Ù (p Ù ~q),
(4) P(p, q) = ~(p
«q) Ù (p « q), tem-se:
p q p Ù q Ù p (p Ù q) « (q Ù p)
V V V V V
V F F F V
F V F F V
F F F F V

p q p Ú  q ~(p Ú  q) p « q ~(p Ú q® (p  « q)
V V V F V V
V F V F F V
F V V F F V
F F F V V V

p q ~p ~q p Ù ~q ~p Ù (p Ù ~q)
V V F F F F
V F F V V F
F V V F F F
F F V F F F

Mineirão - Belo Horizonte - Minas Gerais

Maracanã - Estádio Mário Filho - Rio de Janeiro

p q p « q ~(p « q) p « q ~(p «q) Ù (p « q)
V V V F V F
V F F V F F
F V F V F F
F F V F V F
Morumbi - São Paulo

Como se pode perceber independente dos valores lógicos das proposições p e q, o valor lógico das proposições compostas (1) e (2) é sempre verdadeiro e o valor lógico das compostas (3) e (4) é sempre falso.

       Toda proposição composta cujo único valor lógico é verdadeiro denomina-se TAUTOLOGIA enquanto que as proposições que apresentam apenas o valor lógico falso são chamadas de CONTRADIÇÃO. Quando no julgamento de uma proposição apresentarem os valores falso e verdadeiro, a mesma é denominada CONTINGÊNCIA.
Definem-se então:

(1) TAUTOLOGIA é a proposição composta cujo único valor lógico é VERDADEIRO.

(2) CONTRADIÇÃO é a proposição composta cujo único valor lógico é FALSO.

(3) Proposições compostas que apresentam valores lógicos FALSO e VERDADEIRO
são denominadas CONTINGÊNCIAS.

 
EXERCÍCIOS

01 - Negue as proposições:
a) Maria é bonita e Maria é estudiosa.
b) Maria é bonita ou Maria é estudiosa.
c) Maria não é bonita e Maria não é estudiosa.
d) Maria não é bonita ou Maria não é estudiosa.
e) Maria não é bonita ou Maria é estudiosa.
f) Maria é bonita e Maria não é estudiosa.
g) Maria é bonita ou Maria não é estudiosa.
h) Se cabeça de bagre é dura então eu pesquei um bagre.
i) Se eu não for à aula então meu pai irá me por de castigo.
j) João casará com Maria, se e somente se Maria é bonita.

O churrasco e o chimarrão característicos do Rio Grande do Sul

02 - (Fiscal Trabalho/98) A negação da afirmação condicional "se estiver chovendo, eu levo o guarda-chuva" é:
a) se não estiver chovendo, eu levo o guarda-chuva.
b) não está chovendo e eu levo o guarda-chuva.
c) não está chovendo e eu não levo o guarda-chuva.
d) se estiver chovendo, eu não levo o guarda-chuva.
e) está chovendo e eu não levo o guarda-chuva
.          

Foz do Iguaçu - Paraná, fronteira com a Argentina e com o Paraguai

          
03. (MPOG/2001) Dizer que “André é artista ou Bernardo não é engenheiro” é logicamente equivalente a dizer que:
a) André é artista se e somente se Bernardo não é engenheiro.
b) Se André é artista, então Bernardo não é engenheiro.
c) Se André não é artista, então Bernardo é engenheiro
d) Se Bernardo é engenheiro, então André é artista.
e) André não é artista e Bernardo é engenheiro.
Carnaval - Rio de Janeiro

04 - (ESAF-AFC-2002) Dizer que não é verdade que Pedro é pobre e Alberto é alto, é logicamente equivalente a dizer que é verdade que:
a) Pedro não é pobre ou Alberto não é alto.
b) Pedro não é pobre e Alberto não é alto.
c) Pedro é pobre ou Alberto não é alto.
d) se Pedro não é pobre, então Alberto é alto.
e) se Pedro não é pobre, então Alberto não é alto.


Carnaval - São Paulo
 


05 - Dizer que "Américo não é médico ou Lucas é dentista" é o mesmo que dizer:
A) se Américo é médico, então Lucas é dentista.
B) se Américo é médico não é médico, então Lucas é dentista.
C) se Lucas é dentista, então Américo é médico.
D) se Américo é médico, então Lucas não é dentista.
E) se Américo não é medico, então Paulo não é dentista.

Marujada - Prado - Bahia

 

               06 - Não é verdade que "se eu morrer então eu vou para o céu" então:
A) eu vou morrer ou não vou para o céu.
B) eu não vou morrer e vou para o céu.
C) eu vou morrer ou eu vou para o céu.
D) eu não vou morrer ou eu não vou para o céu.
E) eu vou morrer e não vou para o céu.


07 - Dadas as proposições abaixo, verifique quais são tautologias, quais são contradições e quais são contingências.
a) (p ® q) ® ((p Ú q) ® (q Ú r))                        b) ((p ® q) Ù p) ® q
c) (p ® q) « (p ® ~q)
                                        d) p ® (p Ú q) Ú r
e) ~(~p Ù q) « (p Ú q)                                    f) p ® (q ®(q ®p)
g) (p Ù q) Ù ~(p Ú q)                                       h) (q ® p) ® (p ® q)
i) (p ® q) ® ((p Ù r) ® (q Ù r))


Criação e editoração: Prof. Cesário José Ferreira       PÁGINA INICIAL      AULA 05