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RACIOCÍNIO LÓGICO
AULA Nº 05
CONTEÚDO: LÓGICA DAS PROPOSIÇÕES
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13 - IMPLICAÇÃO E EQUIVALÊNCIA LÓGICAS

         Sejam P(p, q, r, ...) e Q(p, q, r...) duas proposições.
           Definição 1 (IMPLICAÇÃO) - Diz-se que uma proposição P implica na proposição Q se e somente se a tabela verdade de P ® Q for uma tautologia.

         
Para indicar que a proposição P implica na proposição Q usa-se P Þ Q. 
          A implicação lógica goza das seguintes propriedades:
          P1 – Reflexiva. Isto é P Þ P.
          P2 – Transitividade. Isto é P Þ Q e Q Þ S então P Þ S.
          A transitividade pode ser estendida a qualquer série de proposições:
                 P Þ R e R Þ S e S Þ ...Þ X então P Þ X.
          Convém observar que se a implicação for simétrica, P Þ Q e Q Þ P, a implicação passa a ser uma equivalência, conforme definido abaixo.

Definição 2 (EQUIVALÊNCIA):  Uma proposição P é logicamente equivalente a outra proposição Q se e somente se  a tabela verdade de P  « Q  for uma tautologia.

            
Para indicar que a proposição P é equivalente à proposição Q usa-se P Û Q.
          A equivalência lógica goza das seguintes propriedades:
          P1 – P e Q são equivalentes se ambas forem tautologias ou ambas forem contradições.
          P2 – Reflexiva. Isto é P Û P.
          P3 – Simétrica. Isto é, se P Û Q então Q Û P.
          P4 – Transitividade. Isto é se P Û Q e Q Û R então P Û R.
 Algumas equivalências e implicações lógicas são de grande importância na comprovação da veracidade ou nulidade de argumentos, assunto que será estudado mais tarde.
        
 
Destacam-se entre elas:

(1) c Ú p Û p.             (2) t Ù Û p.          (3) c Ù p Û c.       (4)  t Ú p Û t .
(5) p Ù q Þ p.          (6) p Ù q Þ q.              (7) p Þ p Û q.       (8) q Þ p Û q .

Nas equivalências e implicações acima, p e q são duas proposições quaisquer, t é uma tautologia e c uma contradição.

Estas equivalências e implicações podem ser comprovadas mediante tabelas verdade conforme segue:

 
c Ú p « p
F V V V V
F F F V F
1 4 2 5 3
 
t Ù p « p
V V V V V
V V F V F
1 4 2 5 3
 
c Ù p « c
F F V V F
F F F V F
1 4 2 5 3
 
 
t Ú p « t
V V V V V
V V F V V
1 4 2 5 3
p Ù q « p
V V V V V
V F F V V
F F V V F
F F F V F
1 4 2 5 3

 

p Ù q ® q
V V V V V
V F F V F
F F V V V
F F F V F
1 4 2 5 3
Além dessas equivalências e implicações devem ser lembradas as já apresentadas em itens anteriores, que são:

(9) p ® q Û ~p Ú q  
(10) ~(p
Ú q) Û ~p Ù ~q
(11) ~(p
Ù q) Û ~p Ú ~q
(12) p
Ú q Û ~(p « q)
(13) ~(p
® q) Û p Ù ~q
(14)
p « q Û (p Ù ~q) Ú (q Ù ~p).
              

14 - PROPOSIÇÕES ASSOCIADAS A UMA CONDICIONAL

        A partir da condicional p ® q podem ser obtidas as condicionais que são equivalentes à p ® q
(1) q ® p, denominada proposição recíproca de p ® q;
(2) ~p ® ~q, denominada proposição contrária de p ® q; e
(3) ~q ® ~p, denominada proposição contrapositiva de p ® q ou recíproca da proposição ~p ® ~q.


        Na proposição p ® q, p é chamada de hipótese e q de tese. (Lembre-se que p é também chamada de antecedente e p de conseqüente)

 
Por exemplo: se A e B são ângulos opostos pelo vértice então eles são iguais.
      Nesta proposição “A e B são ângulos opostos pelo vértice” é a hipótese e “eles são iguais é a tese”.
      A hipótese é uma proposição que se supõe verdadeira enquanto que a tese é uma proposição que se quer provar.

       Verificando, através de tabelas verdade, as equivalências entre as proposições:
p ® q com  ~q ® ~p e q ® p com ~p ® ~q, tem-se:
p q ~p ~q p ® q ~q ® ~p q ® p ~p ® ~q
V V F F V V V V
V F F V F F V V
F V V F V V F F
F F V V V V V V
1 2 3 4 5 6 7 8

Da tabela pode-se concluir que:
                  (i)  (p
® q) Û (~q ® ~p), conforme resultado das colunas 5 e 6
                  (ii)  q ® p Û ~p ® ~q, conforme se vê nas colunas 7 e 8.
         A equivalência entre p ® q e  ~q ® ~p estabelece um procedimento para demonstrar teoremas ou propriedades condicionais, como por exemplo,: “se a + b = c então a = c – b” .     
         Para provar a propriedade podemos usar a contrapositiva ou a negação da tese (a = c - b). Se a negação da tese levar a concluir a negação da hipótese (a + b = c) então a propriedade estará demonstrada.

      Negando a tese: a ¹ c – b.
      Somando "b" a ambos os membros, a desigualdade permanece.
      Assim,
a + b ¹ c – b + b Þ a + b ¹ c. O que contraria a hipótese. Portanto a propriedade é verdadeira.

 

15 - QUANTIFICADORES
        
        A lógica sentencial, estudada nos itens anteriores, explica como funcionam palavras como "e", "mas", "ou", "não", "se...então", "se e somente se", e "nem-ou". Frege (Friedrich Ludwig Gottlob Frege - 1848/1925) expandiu a lógica para incluir palavras como "todos", "alguns", e "nenhum". Ele mostrou como podemos introduzir variáveis e quantificadores para reorganizar sentenças.
        Os quantificadores desempenham papel importante na verdade ou falsidade das proposições. É possível, através deles, indicar se estão em causa todos, pelo menos um, ou nenhum dos elementos da classe dos argumentos, e avaliar a forma como este fato influi no cálculo lógico.     
        Existem três espécies principais de quantificadores: existencial, universal e existencial estrito.
 - O QUANTIFICADOR EXISTENCIAL

        
Consideremos as afirmações:
       (1) Alguns animais são mamíferos.
       (2) Alguém já foi à Lua.
       (3) Existem pessoas que são analfabetas.

       Todas elas podem ser escritas nas formas:
       (1) Existe pelo menos um animal que é mamífero.
       (2) Existe pelo menos uma pessoa que já foi ao planeta Urano.
       (3) Existe pelo menos uma pessoa que é analfabeta.

      
        A expressão existe pelo menos um(a) identifica o denominado quantificador existencial que é simbolizado pelo símbolo $.
        Reformulando as afirmações com o uso do quantificador existencial e introduzindo a variável x, teremos:
(1)
$x, tal que x é animal e mamífero;
(2)
$x, tal que x é humano e já foi ao planeta Urano;
(3)
$x, tal que, x é humano e analfabeto.
        Se P(x), Q(x) e R(x) são as propriedades comuns aos elementos do conjunto a que se refere a proposição, ou seja P(x) = x é animal e mamífero, Q(x) = x é humano e já foi
ao planeta Urano e R(x) = x é humano e analfabeto, podemos escrever, simbolicamente:
(1)
$x | P(x); (2) $x | Q(x) e (3) $x | R(x).  O sinal | é usado para indicar o termo "tal que" que também pode ser substituído por ":".

     

           As propriedades comuns aos elementos do conjunto em referência são denominadas predicados. O quantificador, juntamente com o predicado constitui uma proposição.
           A proposição é considerada verdadeira se algum elemento x satisfizer às condições explicitas no predicado. Se nenhum elemento x satisfizer às condições do predicado, a proposição é falsa.
     
       Assim, o quantificador existencial transforma uma condição possível numa proposição verdadeira e uma condição impossível numa proposição falsa.
       A primeira e a terceira proposições são verdadeiras pois existem animais mamíferos e humanos analfabetos. Já a segunda proposição é falsa, uma vez que ninguém ainda foi ao planeta Urano.

 - O QUANTIFICADOR UNIVERSAL

         Usa-se o quantificador universal quando a condição ou propriedade é estendida a todos os elementos do conjunto. Simboliza-se por
" e que se lê "qualquer que seja" ou "para todo".
Aplicado às proposições anteriores teremos:
(1)
"x, P(x) que se traduz em: "todo animal é mamífero";
(2)
"x, Q(x) que se traduz em: "todo homem já foi ao planeta Urano";
(3)
"x, R(x) que se traduz em: "todo humano é analfabeto".

       Analisando as três proposições vê-se, de imediato que as mesmas são falsas, existem animais que não são mamíferos, nenhum homem foi ao planeta Urano e existem homens que são alfabetizados (pelo menos semi!).
Já, se
"x, P(x) equivaler a "todo homem é mortal" a proposição é verdadeira. Ou seja: proposições com o quantificador universal são verdadeira se a propriedade for válida para todos os elementos do conjunto estabelecido.

- O QUANTIFICADOR ESTRITO

        O quantificador existencial estrito é uma variação do quantificador existencial. Indica a existência de apenas um elemento capaz de tornar a proposição verdadeira. O quantificador existencial estrito é denotado pelo símbolo
$| e tem o significado de “existe apenas um”, “existe somente um” , “existe um só”.

16 - NEGAÇÃO DE QUANTIFICADORES

        A negação de uma proposição da qual conste um quantificador exige alguns cuidados, tendo em vista a natureza do quantificador e do predicado, pois não é a mesma coisa negar o quantificador e negar o predicado.
Seja por exemplo: Se P(x) é o predicado x é um gato preto, tem-se:
(1)
"x: P(x) significa: todos os gatos são pretos.
(2)
"x: ~P(x) significa: todos os gatos não são pretos.
(3) ~
"x : P(x) significa: nem todos os gatos são pretos.
(4)
$x: P(x) significa: existe pelo menos um gato que é preto.
(5) ~
$x: P(x) significa: nenhum gato é preto.
(6)
$x: ~P(x) significa: existe pelo menos um gato que não é preto.
        Nas proposições 2 e 6 são negados os predicados enquanto que nas proposições 3 e 5 são negados os quantificadores.

       A proposição (3), negação do quantificador universal é equivalente a "existem gatos que não são pretos" ou "existe pelo menos um gato que não é preto", que corresponde à proposição (6). Disto se conclui [~
"x : P(x)] Û [$x: ~P(x)].
       Também, dizer que "nenhum gato é preto" (proposição 5) equivale dizer "todos os gatos não são pretos" (proposição 2).
       Assim, [~
$x: P(x)] Û ["x: ~P(x)].

SINOPSE
[~"x : P(x)] Û [$x: ~P(x)].
[~
$x: P(x)] Û ["x: ~P(x)]
 


17 - QUANTIFICADORES E DIAGRAMAS

        Chamamos de proposições categóricas àquelas que usam termos como todo, algum ou nenhum, como por exemplo:
    - todo mineiro é cruzeirense.
    - algum mineiro é atleticano.
    - nenhum mineiro é vascaíno.
        O julgamento, bem como a negação de uma proposição categórica pode ser facilitado através da construção de diagramas.
        Consideremos que P(x) e Q(x) sejam os predicados da proposição categórica. Nestas condições, as proposições acima seriam escritas "todo P(x) é Q(x)", "algum P(x) é Q(x)" e "nenhum P(x) é Q(x)".
        Os diagramas correspondentes seriam:

       Pelos diagramas podemos verificar as equivalências e negações:
       (1)  Nenhum Q(x) é P(x) equivale a nenhum P(x) é Q(x).
             Exemplo: A proposição "nenhum mineiro é baiano" é equivalente a "nenhum baiano é mineiro".
       (2) Algum Q(x) é P(x) equivale a algum P(x) é Q(x).
             Exemplo: Algum múltiplo de 6 é múltiplo de 10 é equivalente a "algum múltiplo de 10 é múltiplo de 6"
       (3) A negação de todo Q(x) é P(x) é algum Q(x) não é P(x).
             Exemplo: Todo número ímpar é primo (não é verdade pois dois é primo e é par) tem por negação algum número primo não é ímpar.
       (4) A negação de algum Q(x) é P(x) é nenhum Q(x) é (Px).
            Exemplo: Algum múltiplo de cinco é um número par (verdade) tem por negação nenhum número par é múltiplo de 5 (falso).
       (5) A negação de nenhum Q(x) é P(x) é algum Q(x) é P(x).
            Exemplo: Nenhum automóvel tem cinco rodas (verdade) tem por negação algum automóvel tem cinco rodas (falso).
 
 

 

EXERCÍCIOS

1. Mostre que:
a)
p « q Þ p ® q                b) p « q Þ q ® p                
c) p Ù q Þ p                       d) p Ù q Þ q
e) (p Ù q)  Û  (q Ù p)           f) ~(p Ù~q) Û ~p Ú q.

2. Dadas as proposições p: 5 >  3  e q:  2 + 2 ¹ 5.
(a) Escreva a recíproca, a contrária e a contrapositiva da proposição
p ® q, sob forma simbólica
(b) Escreva, por extenso, a proposição 
p
® q,  sua recíproca, sua contrária e sua contrapositiva.

3. Considerando que P(x) equivale a x é ave e x voa, traduza para linguagem corrente:
(a)
$x: P(x)        (b) ~$x: P(x)       (c) $x: ~P(x)        (d) $|x: P(x)   (e)  "x: P(x)    (f) "x: ~P(x)        (g) ~"x: P(x).

4. Qual é a negação das proposições:
(a) Nenhuma ave é quadrúpede.
(b) Todo homem é mortal.
(c) Todo homem não é mortal.
(d) Algum homem é imortal.
(e) Nem todo animal é quadrúpede.

Os itens a seguir são questões de múltipla escolha.

5. (CVM/2000) Dizer que a afirmação “todos os economistas são médicos” é falsa, do ponto de vista lógico, equivale a dizer que a seguinte afirmação é verdadeira:
a) pelo menos um economista não é médico.
b) nenhum economista é médico.
c) nenhum médico é economista.
d) pelo menos um médico não é economista.
e) todos os não médicos são não economistas.

6. (TTN-98 ESAF) Se é verdade que "Alguns A são R" e que "Nenhum G é R", então é necessariamente verdadeiro que:
a) algum A não é G.
b) algum A é G.
c) nenhum A é G.
d) algum G é A.
e) nenhum G é A.

7. (Fiscal Trabalho 98 ESAF) Sabe-se que existe pelo menos um A que é B. Sabe-se, também, que todo B é C. Segue-se, portanto, necessariamente que
a) todo C é B.
b) todo C é A.
c) algum A é C.
d) nada que não seja C é A.
e) algum A não é C.

8. (ANPAD_RL_SET_2004) - Se "Alguns profissionais são administradores" e "Todos os administradores são pessoas competentes", então, necessariamente, com as proposições apresentadas, pode-se inferir:
(a) Algum profissional é uma pessoa competente.
(b) Toda pessoa competente é administradora.
(c) Todo administrador é profissional.
(d) Nenhuma pessoa competente é profissional.
(e) Nenhum profissional não é competente.

9. (SERPRO 2001 ESAF) Todos os alunos de matemática são, também, alunos de inglês, mas nenhum aluno de inglês é aluno de história. Todos os alunos de português são também alunos de informática, e alguns alunos de informática são também alunos de história. Como nenhum aluno de informática é aluno de inglês, e como nenhum aluno de português é aluno de história, então:
a) pelo menos um aluno de português é aluno de inglês.
b) pelo menos um aluno de matemática é aluno de história.
c) nenhum aluno de português é aluno de matemática.
d) todos os alunos de informática são alunos de matemática.
e) todos os alunos de informática são alunos de português.

10. (AFCE TCU 99 ESAF) Em uma comunidade, todo trabalhador é responsável. Todo artista, se não for filósofo, ou é trabalhador ou é poeta. Ora, não há filósofo e não há poeta que não seja responsável. Portanto, tem-se que, necessariamente,
a) todo responsável é artista.
b) todo responsável é filósofo ou poeta.
c)) todo artista é responsável.
d) algum filósofo é poeta.
e) algum trabalhador é filósofo.


Criação e editoração: Prof. Cesário José Ferreira                           Página inicial         Aula 06