HOME
RACIOCÍNIO LÓGICO
AULA Nº 06
CONTEÚDO: LÓGICA DAS PROPOSIÇÕES
                Versão para impressão                       Aula 07

15 - MÉTODOS DE RACIOCÍNIO

       Dedução e a indução são formas de raciocínio ou mesmo de argumentação, isto é, são formas de reflexão. O raciocínio deve ser algo ordenado, coerente, e lógico.

         Os argumentos dedutivos como os indutivos são fundamentados em premissas. A dedução e a indução são processos que se completam.

         Sejam, por exemplo, as seqüências de raciocínio:
         i) Todo homem é mortal.
            Sócrates é mortal.
            Então, Sócrates é homem.

 

        ii) Seja o trinômio: n2 + n + 17. Se fizermos n = 0, 1, 2, 3, 4 e 5, obtemos: 17, 19, 23, 29, 37, 47. Todos esses resultados são números primos. Poder-se-ia dai concluir que para todo n ΠN, n2 + n + 17 é um número primo.
        iii) Pedro é pintor ou Pedro é engenheiro.
            Pedro não é engenheiro.
            Portanto, Pedro é pintor.
        As duas primeiras conclusões são falsas pois, 
       (i)  "Sócrates pode ser um gatinho" que é mortal mas não é homem e, 
       (ii) para n = 17, n2 + n + 17 = 17*19 que não é primo. Entretanto, a sentença é verdadeira para n < 16.
        Já a terceira conclusão é logicamente válida pois ela segue determinadas normas que tornam verdadeiro o argumento.

        Em resumo: existem regras rígidas para que um raciocínio seja válido.
No exemplo (i) partimos de uma afirmação geral para se chegar a uma afirmação particular. Um raciocínio desse tipo é chamado de DEDUÇÃO. No exemplo (ii) de algumas situações particulares tentou-se chegar a uma afirmação que poderia ser válida para todas as situações. Este tipo de raciocínio é denominado INDUÇÃO.

16 – MÉTODO DEDUTIVO

         O método dedutivo, considerado como o procedimento ideal da ciência, goza de grande prestígio desde a época de Aristóteles. As idéias de que as explicações científicas devem ter uma forma de dedução lógica, teve ampla aceitação. Este método tradicionalmente é definido como um conjunto de proposições particulares contidas em verdades universais. O ponto de partida é a premissa antecedente (ou hipótese) que tem valor universal verdadeiro(ou pelo menos assim se admite), e o ponto de chegada é a conseqüente (ou tese). A conseqüente contém ou afirma um conhecimento particular ou menos geral contido explicitamente na primeira. Daí que uma definição simplista do método dedutivo pode ser endossada como segue: "método dedutivo é aquele que vai do conhecimento geral para o particular".

 

Na álgebra das proposições, o método dedutivo consiste em demonstrar implicações (H Þ T) e equivalências lógicas (H Û T que equivale provar H Þ T e T Þ H).

Pode-se aplicar, na implicação, o processo direto que consiste em aceitar a hipótese, usando propriedades ou equivalências lógicas, comprovar a tese ou o processo indireto que consiste em negar a tese. Neste processo se a negação da tese implicar na negação da hipótese, a proposição será verdadeira. Este segundo método é denominado, redução ao absurdo.         
         Nas demonstrações é aconselhável converter os conectivos “se então”, “se e somente se” e “ou exclusivo” nos conectivos “e” e “ou”, pois isto facilita as conversões de proposições em proposições equivalentes.


 
São regras aceitáveis para o método dedutivo, conforme visto no item 13 da aula nº 05:
(1) c Ú p Û p             (2) t ÙÛ p          (3) c Ù p Û c       (4)  t Ú p Û t
(5) p Ù q Þ p             (6) p Ù q Þ q           (7) p Þ p Ú q       (8) q Þ p Ú q
(9) p ® q Û ~p Ú q  
(10) ~(p
Ú q) Û ~p Ù ~q
(11) ~(p
Ù q) Û ~p Ú ~q
(12) p
Ú q Û ~(p « q)
(13) ~(p
® q) Û p Ù ~q
(14)
p « q Û (p Ù ~q) Ú (q Ù ~p),
Além dessas podem ser aplicadas:
(15) p
Ú q Û q Ú p (comutatividade da disjunção)
(16) p
Ù q Û q Ù p (comutatividade da conjunção)
(17) p
«q Û q « p (comutatividade da bicondicional)
(18) (p
Ú q) Ú r Û  p Ú (q Ú r) (associatividade da disjunção)
(19) (p
Ù q) Ù r Û p Ù (q Ù r) (associatividade da conjunção)
(20) p
Ú (q
Ù r) Û (p Ú q) Ù (p Ú r) (distributividade da disjunção em relação à conjunção)
(21) p
Ù (q Ú r) Û (p Ù q) Ú(p Ù r) (distributividade da conjunção em relação à disjunção)
(22) p
Ù ~p = c (contradição)


Seguem alguns exemplos aplicando as propriedades acima na demonstração de implicações e equivalências: (os números entre parênteses indicam a propriedade usada)

(1) Demonstrar que (p à q) Ù p Þ q.
      Demonstração:
(p à q) Ù p Û p Ù (p à q) (16)
p Ù (p à q) Û p Ù (~p Ú q) (9)
p Ù (~p Ú q)  Û (p Ù ~p) Ú (p Ù q) (21)
(p Ù ~p) Ú (p Ù q) Û c Ú (p Ù q)  (22)
c Ú (p Ù q) Û p Ù q (1)
p Ù q Þ q (6).

(2) Demonstrar que (p à q) Ù ~q Þ ~p
Demonstração:
(p à q) Ù ~q Û (~p Ú q) Ù ~q (9)
(~p Ú q) Ù ~q Û (~p Ù ~q) Ú (q Ù ~q) (21)
(~p Ù ~q) Ú (q Ù ~q) Û (~p Ù ~q) Ú c  (22)
(~p Ù ~q) Ú c Û c Ú (~p Ù ~q) (15)
c Ú (~p Ù ~q) Û (~p Ù ~q) (22)
(~p Ù ~q) Þ ~p (5).
 


(3) Demonstrar que  (p Ú q) Ù ~p Þ q.
Demonstração:
(p Ú q) Ù ~p Û (p Ù ~p) Ú (q Ù ~p) (21)
(p Ù ~p) Ú (q Ù ~p) Û c Ú (q Ù ~p) (22)
c Ú (q Ù ~p) Û (q Ù ~p) (22)
q Ù ~p Þ ~p (6)

       Estas equivalências e implicações também podem ser demonstradas mediante a construção de tabelas conforme visto em aulas anteriores. Entretanto, à medida que se aumenta o número de proposições simples o processo de tabela torna-se bem mais trabalhoso. 


17 – REGRAS DE INFERÊNCIA

         Sejam P1, P2, P3, ... Pn, e Q proposições tais que (P1 Ù P2 Ù P3 Ù Ù Pn) Þ Q, isto é (P1 Ù P2 Ù P3 Ù Ù Pn) à Q é uma tautologia, dizemos que (P1 Ù P2 Ù P3 Ù Ù Pn) é um argumento que tem como conseqüência a proposição Q.
As proposições P1, P2, P3, ... Pn são denominadas PREMISSAS e Q é denominada CONCLUSÃO.

           As premissas são proposições consideradas verdadeiras.

         Um argumento de premissas P1, P2, P3, ..., Pn e conclusão Q é indicado por P1, P2, P3, ..., Pn  Q,
e que se lê:
(1) P1, P2, P3, ..., Pn acarretam Q; ou
(2) Q decorre de P1, P2, P3, ..., Pn; ou
(3) Q se deduz de P1, P2, P3, ..., Pn; ou
(4) Q se infere de P1, P2, P3, ..., Pn; ou
(5) de P1, P2, P3, ..., Pn se conclui Q.

         
            Definição 1: Um argumento P1, P2, P3, ..., Pn
 Q é válido se e somente se a conclusão Q é verdadeira todas as vezes que as premissas P1, P2, P3, ..., Pn forem verdadeiras.

        Definição 2: Um argumento não válido é denominado sofisma.


18 – ARGUMENTOS BÁSICOS VÁLIDOS

         Na demonstração de um argumento devem ser usadas regras denominadas regras de inferência. Estas regras já foram  demonstrados através de tabelas verdade ou por dedução.
         A seguir são apresentadas as principais regras de inferência. (Para fins de referências em soluções de problemas usaremos as abreviaturas indicadas entre parênteses.)


Exemplo:
     Da premissa "Maria é bonita" pode-se concluir que "Maria é bonita ou Maria é estudiosa" ou que "Maria é estudiosa ou Maria é bonita".
Conforme já foi dito, a premissa "Maria é bonita" é suposta verdadeira bem como, na disjunção, basta que uma das proposições seja verdadeira que a proposição composta será verdadeira.


Exemplo:
É possível concluir, de "eu canto e danço" que "eu canto", como também se pode concluir que "eu danço". Pois, para que a conjunção seja verdadeira, é necessário que ambas as proposições sejam verdadeiras.

Exemplo:
Das premissas, "hoje tem aula" e "amanhã é domingo" pode-se concluir que "hoje tem aula e amanhã é domingo" ou então que "amanhã é domingo e hoje tem aula".

Exemplo:
De "Se o cão late então o pinto pia" pode-se concluir que "se o cão late então o cão late e o pinto pia".

Exemplo:
Premissa (1): Se Pedro é jornalista então Janice é historiadora.
Premissa (2): Pedro é jornalista.
Conclusão: Janice é historiadora.

       É importante nota que se a premissa (2) fosse "Janice é historiadora" não se poderia concluir que "Pedro é jornalista" pois a condicional é verdadeira toda vez que a proposição conseqüente for verdadeira, independente da proposição antecedente ser falsa ou verdadeira.

Exemplo:
Premissa (1) Se o réu tem um álibi então o réu é inocente.
Premissa (2) O réu não é inocente.
Conclusão: o réu não tem um álibi.

      Não vale o argumento:
Premissa (1) Se o réu tem um álibi então o réu é inocente.
Premissa (2) O réu não tem um álibi.
Conclusão: o réu não é inocente.  
Isto é um sofisma.
Quando a proposição antecedente for falsa, a proposição conseqüente pode ser falsa ou verdadeira para que a condicional seja verdadeira.

Exemplo da primeira forma:
Premissa (1): O galo canto ou o gato mia.
Premissa (2): o gato não mia.
Conclusão:    o galo canta.

Exemplo da segunda forma:
Premissa (1): O galo canto ou o gato mia.
Premissa (2): o galo não canta.
Conclusão:    o gato mia.
Basta lembrar que basta uma das proposições ser verdadeira para que a conjunção seja verdadeira.


Exemplo:
Premissa (1): Se eu presto atenção às aulas então eu aprendo.
Premissa (2): Se eu aprendo então eu sou promovido.
Conclusão:    Se eu presto atenção ás aulas então eu sou promovido.

      O silogismo hipotético é a transitividade da condicional.


 

Exemplo:
Proposição (1): Se Pedro é engenheiro então João é médico.
Proposição (2): Se Carlos é professor então Luiz é advogado.
Proposição (3): Pedro é engenheiro ou Carlos é professor.
Conclusão:       João é médico ou Luiz é advogado.

Exemplo:
Proposição (1): Se Pedro é engenheiro então João é médico.
Proposição (2): Se Carlos é professor então Luiz é advogado.
Proposição (3): João não é médico ou Luiz não é advogado.
Conclusão:       Pedro não é engenheiro ou Carlos não é professor.





19 - DEMONSTRAÇÕES USANDO AS REGRAS DE INFERÊNCIAS

         As demonstrações de um argumento podem ser feitas através de tabelas verdades. Entretanto, à medida que aumenta o número de proposições, o método de tabelas pode-se tornar bastante trabalhoso. O uso das regras de inferências podem tornar estas demonstrações bem mais simples.

         Na verificação da validade de um argumento é comum utilizar procedimentos como os descritos nos itens (i) e (ii)  .


        Para demonstrar a validade de um argumento:
     (i) Inicialmente escrevem-se as premissas em coluna e insere-se após elas um traço horizontal.
         As premissas devem ser numeradas para que possam ser citadas na demonstração
    (ii) Após o traço, usam as regras de inferência até obter o que se quer demonstrar.
         Numerar também cada conclusão obtida após a aplicação da regra de inferência.
         Para que a demonstração fique completa é obrigatória a indicação da regra utilizada.
                 
Vejamos alguns exemplos:

         Exemplo 1 -  demonstrar a validade do argumento:
p ® (q ® r), p ® q, p
  r: 

(I) Numerando as premissas e inserindo o traço após elas:   
(1) p ® (q ® r)
(2) p ® q
(3) p


(II) Usando as regras de inferência:
De (1) e (3) usando MP, conclui-se (4) q
® r
De (2) e (3) usando MP, conclui-se (5) q    
De (4) e (5) usando MP, conclui-se (6) r. 

O argumento é então válido pois no item (6) se chegou à conclusão "r".   
 
 
           Exemplo 2 - demonstrar a validade do argumento:
      Se o jardim não é florido, então o gato mia. Se o jardim é florido, então o passarinho não canta. Ora, o passarinho canta. Portanto: "o gato mia".
Simbolizando as proposições:
p: o jardim é florido.
q: o gato mia.
~p: o jardim não é florido.
r: o passarinho canta.
~r: o passarinho não canta.

Demonstrando:

Premissa (1): ~p
® q
Premissa (2):   p
® ~r
Premissa (3):   r

De (3) e (2) usando MT, conclui-se (6) ~p
De (6) e (1) usando MP, conclui-se (7) q.
Ficou provado então que q: "o gato mia".
 

EXERCÍCIOS

1. Demonstre as equivalências e implicações, indicando as propriedades utilizadas.
a) p à q Û (p Ù ~q) à c                             b) p à q Û (p Ú q) à q           
c) (p à q) Ù (p à ~q) Û ~p                        d) (p Ù q) à r Û p à (q à r)        
e) (p à r) Ù (q à r) Û (p Ú q) à r                f) (p à q) Ú (p à r) Û (p à q) Ú r.
 

2. Verificar a validade dos seguintes argumentos, justificando cada passagem
a) p ® q, p Ù r
q             
b)
p Ù q, p Ú r ® s
p Ù s.
c) p ® (q ® r), p ® q, p r           
d)
p Ú q ® r, (r Ú q) ® (p ® (s « t)), p Ù s s « t

3. Verificar a validade do argumento, justificando cada passagem:
P1: Maria Vai ao cinema ou João vai ler um livro.
P2: Se João vai ler um livro, então Pedro vai malhar na academia.
P3: Pedro não vai malhar na academia.
Conclusão: Maria vai ao cinema.

4. Demonstrar a validade do argumento
P1: Se Pedro tem a mesma altura que João então João tem a mesma altura que Luis.
P2: Se João tem a mesma altura que Luis então Pedro tem a mesma altura que Antônio.
P3: Ou Pedro tem a mesma altura que João ou a altura de Pedro é 1,80 m.
P4: Se a altura de Pedro é 1,80 m então a altura de Pedro mais 0,20 m = 2,00 m.
P5: Mas a altura de Pedro mais 0,20 não é igual a 2,00m.
Portanto: Pedro tem a mesma altura que Antônio.


5. Se Ana não é advogada, então Sandra é secretária. Se Ana é advogada, então Paula não é professora. Sabendo-se que Paula é professora, então:
(A) Ana é advogada,
(B) Sandra é secretária,
(C) Ana é advogada ou Paula não é professora,
(D) Ana é advogada e Paula é professora.

6. Se Carlos é mais alto do que Paulo, então Ana é mais alta do que Maria.
Se Ana é mais alta do que Maria, então João é mais alto do que Carlos.
Sabe-se que Carlos é mais alto do que Paulo, logo
(A) Ana é mais alta do que Maria e João é mais alto do que Paul;
(B) Carlos é mais alto do que Maria e Paulo é mais alto do que João;
(C) João é mais alto do que Paulo e Paulo é mais alto do que Carlos;
(D) Ana não é mais alta do que Maria ou Paulo é mais alto do que Carlos.

7. (AFTN 1996 ESAF) José quer ir ao cinema assistir ao filma "Fogo contra fogo", mas não tem certeza se o mesmo está sendo exibido. Seus amigos, Maria Luís e Júlio têm opiniões discordantes sobre se o filme está ou não em cartaz. Se Maria estiver certa, então Júlio está enganado. Se Júlio estiver enganado, então Luís está enganado. Se Luís estiver enganado, então o filme não esta sendo exibido. Ora, ou o filme "Fogo contra Fogo" está sendo exibido ou José não irá ao cinema. Entretanto, sabe-se que Maria está certa. Logo:
(A) o filme "Fogo contra Fogo" está sendo exibido;
(B) Luís e Júlio não estão enganados;
(C) Júlio está enganado, mas Luís não;
(D) José Não irá ao cinema.

8. (Assistente de Chancelaria MRE 2004 ESAF) No final de semana, Chiquita não foi ao parque.
Ora, sabe-se que sempre que Didi estuda, Didi é aprovado. Sabe-se, também, que, nos finais de semana, ou Dadá vai à missa ou vai visitar tia Célia. Sempre que Dadá vai visitar tia Célia, Chiquita vai ao parque, e sempre que Dadá vai à missa, Didi estuda. Então, no
final de semana,
a) Dadá foi à missa e Didi foi aprovado.
b) Didi não foi aprovado e Dadá não foi visitar tia Célia.
c) Didi não estudou e Didi foi aprovado.
d) Didi estudou e Chiquita foi ao parque.
e) Dadá não foi à missa e Didi não foi aprovado.

9. (AFC/CGU 2003/2004 ESAF) Ana é prima de Bia, ou Carlos é filho de Pedro. Se Jorge é irmão de Maria, então Breno não é neto de Beto. Se Carlos é filho de Pedro, então Breno é neto de Beto. Ora, Jorge é irmão de Maria. Logo:
a) Carlos é filho de Pedro ou Breno é neto de Beto.
b) Breno é neto de Beto e Ana é prima de Bia.
c) Ana não é prima de Bia e Carlos é filho de Pedro.
d) Jorge é irmão de Maria e Breno é neto de Beto.
e) Ana é prima de Bia e Carlos não é filho de Pedro.

10. Verificar a validade ou não do argumento:
x = y
® x = z, x y ® x < z, x > z Ú y > z, y z Ù x y > z

10. Verificar a validade ou não dos argumentos:
a) (p
Ù q) ® r, r ® s, t ® ~u, t, ~s Ú ~(p Ù q)
b) p
® q, q ® r, s ® t, p Ú s r Ú t
c) p
® q, ~r ® (s ® t), r Ú (p Ú s), ~r q Ú t

10. (TCE-ES/2004/CESPE) Julgue os itens a seguir:
Item 1. A seguinte argumentação é inválida.
Premissa 1: Todo funcionário que sabe lidar com orçamento conhece contabilidade.
Premissa 2: João é funcionário e não conhece contabilidade.
Conclusão: João não sabe lidar com orçamento.

Item 2. A seguinte argumentação é válida.
Premissa 1: Toda pessoa honesta paga os impostos devidos.
Premissa 2: Carlos paga os impostos devidos.
Conclusão: Carlos é uma pessoa honesta.

Item 3. A argumentação não é válida.
• Se lógica é fácil, então Sócrates foi mico de circo.
• Lógica não é fácil.
• Sócrates não foi mico de circo.

13. (Agente da Polícia Federal/2004/CESPE)
Uma noção básica da lógica é a de que um argumento é composto de um conjunto de sentenças denominadas premissas e de uma sentença denominada conclusão. Um argumento é válido se a conclusão é necessariamente verdadeira sempre que as premissas forem verdadeiras. Com base nessas informações, julgue os itens que se seguem.
Item 1. Toda premissa de um argumento válido é verdadeira.
Item 2. Se a conclusão é falsa, o argumento não é válido.
Item 3. Se a conclusão é verdadeira, o argumento é válido.
Item 4. É válido o seguinte argumento: todo cachorro é verde, e tudo que é verde é vegetal, logo todo cachorro é vegetal.

14.(TRT-9ª Região/2004/FCC) Observe a construção de um argumento:
Premissas:
Todos os cachorros têm asas.
Todos os animais de asas são aquáticos.
Existem gatos que são cachorros.
Conclusão: Existem gatos que são aquáticos.
Sobre o argumento A, as premissas P e a conclusão C, é correto dizer que:
(A) A não é válido, P é falso e C é verdadeiro.
(B) A não é válido, P e C são falsos.
(C) A é válido, P e C são falsos.
(D) A é válido, P ou C são verdadeiros.
(E) A é válido se P é verdadeiro e C é falso.

15. Assinale a alternativa que contém um argumento válido.
a) Alguns atletas jogam xadrez.
Todos os intelectuais jogam xadrez.
Conclusão: Alguns atletas são intelectuais.

b) Se estudasse tudo, eu passaria.
Eu não passei.
Conclusão: Eu não estudei tudo.


Criação e editoração: Prof. Cesário José Ferreira                         Página inicial       Aula 07