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RACIOCÍNIO LÓGICO
AULA Nº 06 - EXERCÍCIOS
CONTEÚDO: REGRAS DE INFERÊNCIA - ARGUMENTOS
                                         

1. Demonstre as equivalências e implicações, indicando as propriedades utilizadas.
a) p
à q Û (p Ù ~q) à c                             b) p à q Û (p Ú q) à q           
c) (p
à q) Ù (p à ~q) Û ~p                        d) (p Ù q) à r Û p à (q à r)        
e) (p
à r) Ù (q à r) Û (p Ú q) à r                f) (p à q) Ú (p à r) Û (p à q) Ú r.

Solução:

Observação: as demonstrações podem ser feitas também utilizando as tabelas verdade.

(a)

p à q Û ~p Ú q (9) Û ~(p Ù ~q) (11) Û c Ú ~(p Ù ~q) (1) Û ~(p Ù ~q) Ú c (15) Û (p Ù ~q) à c (9).

 

(b) Provemos inicialmente que q Ú ~q Û t através da tabela verdade.

q

~q

q Ú ~q

t

q Ú ~q « t

V

F

 V

V

V

F

V

 V

V

V

1

2

 3

4

5

p à q Û ~p Ú q  (9) Û t Ù  (~p Ú q) (2) Û  (~p Ú q) Ù t (16) Û  (~p Ú q) Ù (~q Ú q) – provado acima

Û (~p Ù ~q) Ú q (20) Û ~(p Ú q) Ú q (11) Û (p Ú q) à q (9)

 

c) (p à q) Ù (p à ~q) Û (~p Ú q) Ù (~p Ú ~q) (9) Û  ~p Ú (q Ù ~q) (20) Û ~p Ú Û ~p (1)

 

(d) (p Ù q) à r  ~(p Ù q) Ú r (9) Û (~p Ú ~q) Ú r (11) Û ~p Ú (~q Ú r) (18) ~p Ú (q à r) (9) Û

Ûà (q à r) (9).

 

(e) (p à r) Ù (q à r) Û (~p Ú r) Ù (~q Ú r) (9) Û (~p Ù ~q) Ú r (21) Û ~(p Ú q) Ú r (11) Û

Û (p Ú q) à r (9)

 

(f) (p à q) Ú (p à r) Û (~p Ú q) Ú (~p Ú r) (9) Û (~p Ú ~p) Ú (q Ú r) (18) Û ~p Ú (q Ú r) Û

Û (~p Ú q) Ú r (18) Û (p à q) à r (9).


2. Verificar a validade dos seguintes argumentos, justificando cada passagem
a)
p ® q, p Ù r q            
b)
p Ù q, p Ú r ® s p Ù s.
c) p ® (q ® r), p ® q, p r          
d)
p Ú q ® r, (r Ú q) ® (p ® (s « t)), p Ù s   s « t

Soluções

(a)

(1) p ® q

(2) p Ù r

_________

(3) de (2) obtém-se p  (SI)

(4) de (1) e (3) resulta q (MP).  (cqd – como queremos demonstrar)

 

(b)

(1) p Ù q

(2) p Ú r ® s

__________

(3) de (1) obtém-se p. (SI)

(4) de (3) obtém-se p Ú r (AD).

(5) de (2) e (3) obtém-se s (MP).

(6) de (3) e (5) obtém-se p Ù s. (cqd)

 

(c)

(1) p ® (q ® r)

(2) p ® q

(3) p

______________

(4) de (1) e (3) obtém-se q ® r (MP).

(5) de (2) e (3) obtém-se q (MP).

(6) de (4) e (5) obtém-se r (MP). (cqd).

 

) p Ú q ® r, (r Ú q) ® (p ® (s « t)), p Ù s   s « t

 

(d)

(1) p Ú q ® r

(2) (r Ú q) ® (p ® (s « t))

(3) p Ù s

______________

(4) de (3) obtém-se p (SI).

(5) de (4) obtém-se p Ú q (AD).

(6) de (5) e (1) obtém-se r (MP).

(7) de (6) obtém-se r Ú q (AD).

(8) de (2) e (7) obtém-se p à (s « t) (MP).

(9) de (4) e (8) obtém-se s « t (MP). (cqd)


3. Verificar a validade do argumento, justificando cada passagem:
P1: Maria Vai ao cinema ou João vai ler um livro.
P2: Se João vai ler um livro, então Pedro vai malhar na academia.
P3: Pedro não vai malhar na academia.
Conclusão: Maria vai ao cinema.

Solução:

(4) de P3 e P2, conclui-se João não vai ler o livro. (MT)

(5) de P1 e (4) conclui-se Maria não vai ao cinema. (MT).

Portanto, o argumento não é válido.


4. Demonstrar a validade do argumento
P1: Se Pedro tem a mesma altura que João então João tem a mesma altura que Luis.
P2: Se João tem a mesma altura que Luis então Pedro tem a mesma altura que Antônio.
P3: Ou Pedro tem a mesma altura que João ou a altura de Pedro é 1,80 m.
P4: Se a altura de Pedro é 1,80 m então a altura de Pedro mais 0,20 m = 2,00 m.
P5: Mas a altura de Pedro mais 0,20 não é igual a 2,00m.
Portanto: Pedro tem a mesma altura que Antônio.

Solução:

De P5 e P4, conclui-se: (6) A altura de Pedro não é 1,80 m  (MT).

De (6) e P3, conclui-se: (7) Pedro tem a mesma altura que João (SD).

De (7) e P1, conclui-se: (8) João tem a mesma altura que Luis (MP).

De (8) e P2, conclui-se: (9) Pedro tem a mesma altura que Antônio (MP). (cqd)


5. Se Ana não é advogada, então Sandra é secretária. Se Ana é advogada, então Paula não é professora. Sabendo-se que Paula é professora, então:
(A) Ana é advogada,
(B) Sandra é secretária,
(C) Ana é advogada ou Paula não é professora,
(D) Ana é advogada e Paula é professora.
Solução: Vamos identificar as proposições e as premissas.

Proposições

Ana é advogada: p

Sandra é secretária: q

Paula é professora: r

Premissas

P1: ~p à q

P2:   p à ~r

P3:   r

_________

 

(4) de P3 e P2 conclui-se ~p (MT)

(5) de (4) e P1 conclui-se q (MP).

Portanto: Sandra é secretária.

Resposta: letra (B)


6. Se Carlos é mais alto do que Paulo, então Ana é mais alta do que Maria.
Se Ana é mais alta do que Maria, então João é mais alto do que Carlos.
Sabe-se que Carlos é mais alto do que Paulo, logo
(A) Ana é mais alta do que Maria e João é mais alto do que Paulo;
(B) Carlos é mais alto do que Maria e Paulo é mais alto do que João;
(C) João é mais alto do que Paulo e Paulo é mais alto do que Carlos;
(D) Ana não é mais alta do que Maria ou Paulo é mais alto do que Carlos.
Solução:

Identificando as proposições:

p: Carlos é mais alto do que Paulo

q: Ana é mais alta do que Maria

r: João é mais alto do que Carlos

Premissas:

P1:    p à q

P2:    q à r

P3:    p

__________

 

(4) de P3 e P1 conclui-se q (MP)

(5) de (4) e P2 conclui-se r (MP).

(6) de (4) e (5) conclui-se q Ù r (CO)

Como q Ù r equivale a Ana e mais alta do que Maria e João é mais alto do que Carlos, a resposta é a letra (A).


7. (AFTN 1996 ESAF) José quer ir ao cinema assistir ao filme "Fogo contra fogo", mas não tem certeza se o mesmo está sendo exibido. Seus amigos, Maria Luís e Júlio têm opiniões discordantes sobre se o filme está ou não em cartaz. Se Maria estiver certa, então Júlio está enganado. Se Júlio estiver enganado, então Luís está enganado. Se Luís estiver enganado, então o filme não esta sendo exibido. Ora, ou o filme "Fogo contra Fogo" está sendo exibido ou José não irá ao cinema. Entretanto, sabe-se que Maria está certa. Logo:
(A) o filme "Fogo contra Fogo" está sendo exibido;
(B) Luís e Júlio não estão enganados;
(C) Júlio está enganado, mas Luís não;
(D) José Não irá ao cinema.
Solução: Relacionando as proposições e as premissas:

Proposições:

p: Maria está certa

q: Júlio está enganado.

r: Luís está enganado.

s: O filme está sendo exibido.

t: José irá ao cinema.

Premissas:

P1: p à q

P2: q à r

P3: r à ~s

P4: s Ú ~t

P5: p

__________    

 

(6) de P1, P2, P3 conclui-se p à ~s (SH)

(7) de (6) e P4 conclui-se ~t (obs. No ou exclusivo para ser verdadeiro uma das proposições deve ser falsa e a outra verdadeira. Como s é falsa então ~t tem que ser verdadeiro).

Resposta: ~t significa José não irá ao cinema. Letra (D)


8. (Assistente de Chancelaria MRE 2004 ESAF) No final de semana, Chiquita não foi ao parque.
Ora, sabe-se que sempre que Didi estuda, Didi é aprovado. Sabe-se, também, que, nos finais de semana, ou Dadá vai à missa ou vai visitar tia Célia. Sempre que Dadá vai visitar tia Célia, Chiquita vai ao parque, e sempre que Dadá vai à missa, Didi estuda. Então, no final de semana,
a) Dadá foi à missa e Didi foi aprovado.
b) Didi não foi aprovado e Dadá não foi visitar tia Célia.
c) Didi não estudou e Didi foi aprovado.
d) Didi estudou e Chiquita foi ao parque.
e) Dadá não foi à missa e Didi não foi aprovado.
Solução: Explicitando as proposições e as premissas

Proposições:

p: Chiquita foi ao parque

q: Didi estuda

r: Didi é aprovado

t: Dada vai à missa

u: Dada vai visitar a tia Célia.

Premissas:

P1: ~p

P2: q à r

P3: t  Ú  u

P4: u à p

P5: t à q

_________ 

(6) de P1 e P4 conclui-se ~u (MT)

(7) de (6) e P3 conclui-se t (conectivo ou exclusivo – ver exercício anterior)

(8) de (7) e P5 conclui-se q (MP)

(9) de (8) e P2 conclui-se r (MP)

Resposta: qualquer combinação de ~p, ~u, t, q e r, usando o conectivo “e” pode ser tirada como conclusão. Analisando as opções temos:

(a) t Ù r (correto)    (b) ~r Ù ~u (incorreto)   (c) ~q Ù r (incorreto)    (d) q Ù p (incorreto pois o correto é ~p)  (e) ~t Ù ~r (incorreto).

Resposta: letra (a)

9. (AFC/CGU 2003/2004 ESAF) Ana é prima de Bia, ou Carlos é filho de Pedro. Se Jorge é irmão de Maria, então Breno não é neto de Beto. Se Carlos é filho de Pedro, então Breno é neto de Beto. Ora, Jorge é irmão de Maria. Logo:
a) Carlos é filho de Pedro ou Breno é neto de Beto.
b) Breno é neto de Beto e Ana é prima de Bia.
c) Ana não é prima de Bia e Carlos é filho de Pedro.
d) Jorge é irmão de Maria e Breno é neto de Beto.
e) Ana é prima de Bia e Carlos não é filho de Pedro.
Solução: Explicitando as proposições e premissas.

Proposições

p: Ana é prima de Bia

q: Carlos é filho de Pedro.

r: Jorge é irmão de Maria.

s: Breno é neto de Beto.

Premissas:

P1: p Ú q

P2: r à ~s

P3: q à s

P4: r

________ 

(5) de P2 e P4 conclui-se ~s (MP).

(6) de (5) e P3 conclui-se ~q (MT).

(7) de (6) e P1 conclui-se p (SD).

Resposta: qualquer combinação de r, ~s, ~q e p, com o conectivo “e” será válida. Vejamos as opções:

(a) q Ú s (não é válido, pois q e s são falsos)        (b) s Ù p (incorreto s é falso)

(c) ~p Ù q (incorreto p é verdade e q é falso)        (d) r Ù s (incorreto s é falso)

(e) p Ù ~q (correto).

Resposta: letra (e)


10. Verificar a validade ou não do argumento:
x = y
® x = z, x y ® x < z, x > z Ú y > z, y z Ù x y > z
Solução: Indique as proposições e as premissas na forma simbólica.

Proposições?

p: x = y

q: x = z

r: x < z

t: y > z

u: y ≠ z

Premissas

P1: p à q

P2: ~p à r

P3: ~r Ú t  (obs. A negação de x < z é x > z.

P4: u Ù  ~q

Deve-se concluir ou não t.

(5) de P4 tira-se ~q (SI).

(6) de (5) e P1 obtém-se ~p (MT).

(7) de (6) e P2 conclui-se r (MP).

(8) de (7) e P3 conclui-se t (SD).

Resposta: Como foi concluído t: y > z, o argumento é valido.


10. Verificar a validade ou não dos argumentos:
(a) (p
Ù q) ® r, r ® s, t ® ~u, t, ~s Ú ~(p Ù q)
Solução:

P1: (p Ù q) ® r

P2: r ® s

P3: t ® ~u

P4: t

P5: ~s Ú u

_________  

(6) de P4 e P3 conclui-se ~u (MP).

(7) de (6) e P5 conclui-se ~s (SD).

(8) de (7) e P2 conclui-se ~r (MT).

(9) de (8) e P1 conclui-se ~(p Ù q). Portanto, o argumento é válido.

 

(b) p ® q, q ® r, s ® t, p Ú s r Ú t

Solução:

P1: p ® q

P2: q ® r

P3: s ® t

P4: p Ú s

Como não se pode concluir nada a respeito de p ou de s, o argumento não é válido.

 

(c) p ® q, ~r ® (s ® t), r Ú (p Ú s), ~r q Ú t

Solução:

P1: p ® q

P2: ~r ® (s ® t)

P3: r Ú (p Ú s)

P4: ~r

_______________

De P2 e P4 conclui-se s à t (MP).

De P4 e P3 conclui-se p Ú s (SD).

Nada se pode concluir a respeito de p ou s para tirar a conclusão relativa a q ou t. Portanto o argumento não é válido


10. (TCE-ES/2004/CESPE) Julgue os itens a seguir:


Item 1. A seguinte argumentação é inválida.
Premissa 1: Todo funcionário que sabe lidar com orçamento conhece contabilidade.
Premissa 2: João é funcionário e não conhece contabilidade.
Conclusão: João não sabe lidar com orçamento.

Resposta: a argumentação é válida. Portanto, a afirmação é errada.

Justificativa: Por meio de diagrama tem-se:

 

Item 2. A seguinte argumentação é válida.
Premissa 1: Toda pessoa honesta paga os impostos devidos.
Premissa 2: Carlos paga os impostos devidos.
Conclusão: Carlos é uma pessoa honesta.
Solução: Carlos pode pagar os impostos devidos, mas não ser uma pessoa honesta.

A conclusão estaria correta se a premissa 1 fosse: toda pessoa que paga os impostos é pessoa honesta. Portanto a argumentação não é válida. A afirmativa é errada.

 

Item 3. A argumentação não é válida.
• Se lógica é fácil, então Sócrates foi mico de circo.
• Lógica não é fácil.
• Sócrates não foi mico de circo.
Solução: Escrevendo na forma simbólica:

P à q

~p

Das duas proposições não se pode concluir ~q. Portanto a argumentação não é válida. A afirmativa está errada.


13. (Agente da Polícia Federal/2004/CESPE)
Uma noção básica da lógica é a de que um argumento é composto de um conjunto de sentenças denominadas premissas e de uma sentença denominada conclusão. Um argumento é válido se a conclusão é necessariamente verdadeira sempre que as premissas forem verdadeiras. Com base nessas informações, julgue os itens que se seguem.
Item 1. Toda premissa de um argumento válido é verdadeira.
Item 2. Se a conclusão é falsa, o argumento não é válido.
Item 3. Se a conclusão é verdadeira, o argumento é válido.
Item 4. É válido o seguinte argumento: todo cachorro é verde, e tudo que é verde é vegetal, logo todo cachorro é vegetal.
Solução:

Item 1: Errado. O item 4 é um exemplo em que as premissas são falsas, mas o argumento é verdadeiro.

Item 2: Errado. O item 4 serve também como exemplo.

Item 3. Errado. Pode-se chegar a conclusões verdadeiras sem que o argumento seja válido.

Item 4. Correto. Como tudo que é verde é vegetal, sendo todo cachorro verde, então todo cachorro e vegetal. Observe que apesar da conclusão não ser verdadeira, o argumento é válido pois parte de premissas que também não são verdadeira.

14.(TRT-9ª Região/2004/FCC) Observe a construção de um argumento:
Premissas:
Todos os cachorros têm asas.
Todos os animais de asas são aquáticos.
Existem gatos que são cachorros.
Conclusão: Existem gatos que são aquáticos.
Sobre o argumento A, as premissas P e a conclusão C, é correto dizer que:
(A) A não é válido, P é falso e C é verdadeiro.
(B) A não é válido, P e C são falsos.
(C) A é válido, P e C são falsos.
(D) A é válido, P ou C são verdadeiros.
(E) A é válido se P é verdadeiro e C é falso.
Solução: Analisemos o argumento por meio de diagramas.

É evidente que as premissas são falsas.

A conclusão é válida como pode ser observado no diagrama.

Como a conclusão é valida tem por base as premissas, então o argumento é válido.

A melhor resposta então é a letra D, pois o conectivo “e” aceita a situação em que somente um dos dois é verdadeiro.


15. Assinale a alternativa que contém um argumento válido.

a) Alguns atletas jogam xadrez.
Todos os intelectuais jogam xadrez.
Conclusão: Alguns atletas são intelectuais.
Resposta: O argumento não é válido, pois pode ocorrer uma situação como a do diagrama onde nenhum atleta é intelectual.
 

b) Se estudasse tudo, eu passaria.
Eu não passei.
Conclusão: Eu não estudei tudo.

Solução: A conclusão é válida, pois temos um argumento do tipo

p à q, ~q |------- ~p. (Modo Tollens)

 

Portanto este argumento é válido.


Criação e editoração: Prof. Cesário José Ferreira              Página inicial